Wymiar Hausdorffa

Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa.

Definicja

Niech $s>0.$ Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru $E\subseteq X$ określamy miarę zewnętrzną

$H_{\delta }^s(E)=\inf \{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{diam}(A_i{)}^s\},$

gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów $\{A_i{\}}_i,$ które pokrywają $E$ i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej $\delta .$

Gdy $\delta$ maleje, to $H_{\delta }^s(E)$ rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa (dla wykładnika $s$):

$H^s(E)=\underset{\delta \to 0}{\lim }{H}_{\delta }^s(E).$

Łatwo sprawdzić, że:

• $H^s(E)=0⟹H^t(E)=0$ dla każdego $t>s;$
• $H^s(E)=\mathrm{\infty }⟹H^t(E)=\mathrm{\infty }$ dla każdego $t<s.$

Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako

${\dim }_H(E)=\inf \{s:H^s(E)=0\}=\sup \{s:H^s(E)=\mathrm{\infty }\}.$

Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny

Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze nie mniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937) udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932) wykorzystując zamiast miary Hausdorffa logarytm minimalnych liczności ε-pokryć, podzielony przez $\log (\epsilon ).$

Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witolda Hurewicza i Henry’ego Wallmana; patrz też rosyjskie tłumaczenie, gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

Praktyczna metoda wyznaczania

Szablon:Dopracować Dla większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej, obliczanie wymiaru fraktalnego może okazać się trudne. Jednak dla pewnej klasy obiektów fraktalnych można korzystać z następującego twierdzenia:

Niech $A_{\mathrm{\infty }}$ będzie atraktorem układu iterowanych odwzorowań $w_1,\dots ,w_k,$ będących zwężającymi podobieństwami o skalach podobieństwa $a_1,\dots ,a_k.$ Ponadto załóżmy, że obrazy atraktora są rozłączne, to znaczy, że dla każdego $i\ne j$ zachodzi $w_i(A_{\mathrm{\infty }})\cap w_j(A_{\mathrm{\infty }})=\mathrm{\varnothing }.$ Wtedy wymiar Hausdorffa ${\dim }_H(A_{\mathrm{\infty }})$ jest równy liczbie $r$ będącej rozwiązaniem równania:

$|a_1{|}^r+\dots +|a_k{|}^r=1.$

Powyższe równanie jest konsekwencją następującego zapisu oraz własnościami miary $H^s:$

$H^s(A_{\mathrm{\infty }})=H^s(w_1(A_{\mathrm{\infty }}))+\dots +H^s(w_k(A_{\mathrm{\infty }})),$

$H^s(A_{\mathrm{\infty }})=|a_1{|}^s{H}^s(A_{\mathrm{\infty }})+\dots +|a_k{|}^s{H}^s(A_{\mathrm{\infty }}),$

$1=|a_1{|}^s+\dots +|a_k{|}^s.$

Przykład: dywan Sierpińskiego:

Dywan Sierpińskiego jest atraktorem układu IFS ośmiu podobieństw o skalach podobieństwa $a_i=1/3.$ Wtedy rozwiązaniem równania

$8\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^r=1$

jest $r=\frac{\log (8)}{\log (3)}\approx 1,8928.$

Dla kostki Mengera będzie to więc $\log (20)/\log (3),$ dla piramidy Sierpińskiego $\log (4)/\log (2)=2,$ a dla zbioru Cantora $\log (2)/\log (3).$