Pokrycie zbioru

Pokryciem zbioru $Y,$ który jest zawarty w przestrzeni $X,$ nazywa się dowolną rodzinę zbiorów $(U_s{)}_{s\in S}$ zawartych w $X,$ taką, że zbiór $Y$ jest zawarty w sumie elementów tej rodziny, tj. $Y\subseteq \bigcup _{s\in S}{U}_s.$ Zbiór $S$ jest zbiorem indeksów.

Uwaga: Często w definicji pokrycia żąda się, aby $Y=\bigcup _{s\in S}{U}_s.$ Dalej będziemy zakładać ten warunek.

Definicje

Pojęcie pokrycia często jest używane w kontekście topologii.

Niech $(X,\tau )$ jest przestrzenią topologiczną.

Definicja pokrycia otwartego

Pokrycie $𝒞\subseteq 2^X$ nazywa się pokryciem otwartym, gdy każdy element $C\in 𝒞$ jest zbiorem otwartym, tj.

$\underset{C\in 𝒞}{\bigwedge }C\in \tau .$

Definicja pokrycia domkniętego

Pokrycie $𝒟\subseteq 2^X$ nazywa się pokryciem domkniętym, gdy każdy element $D\in 𝒟$ jest zbiorem domkniętym, tj.

$\underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }X\setminus D\in \tau .$

Pokrycia wpisane i podpokrycia

Niech $𝒜=(A_s{)}_{s\in S},ℬ=(B_t{)}_{t\in T}$ będą pokryciami zbioru $X.$

Pokrycie $𝒜$ nazywa się pokryciem wpisanym w pokrycie $ℬ,$ jeśli

$\underset{s\in S}{\bigwedge }\underset{t_s\in T}{\bigvee }{A}_s\subseteq B_{t_s}.$

Pokrycie ${𝒜}^{\prime }=(A{\text{'}}_s{)}_{s\in S^{\prime }}$ nazywa się podpokryciem pokrycia $𝒜=(A_s{)}_{s\in S},$ jeśli

$S^{\prime }\subset S\wedge [s\in S^{\prime }\Rightarrow {A_s}^{\prime }=A_s].$

Każde podpokrycie danego pokrycia jest w nie wpisane.

Definicja pokrycia skończonego

Pokrycie $𝒜=(A_s{)}_{s\in S}$ nazywa się skończonym, jeśli $S$ jest zbiorem skończonym (typowo wówczas $S=\{1,2,\dots n\}$ dla pewnego naturalnego $n$).

Zobacz też

• podział zbioru
• przestrzeń zwarta
• rodzina lokalnie skończona
• rodzina punktowo skończona