Przestrzeń zwarta

Szablon:Dopracować Szablon:Spis treści Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. pewna skończona liczba zbiorów pokrycia tworzy pokrycie)Szablon:Odn.

Zbiorem zwartym nazywa się podzbiór przestrzeni topologicznej, który traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni) jest przestrzenią zwartą.

W niektórych źródłach (np. Szablon:Odn) w definicji zwartości dodatkowo wymaga się, aby przestrzeń zwarta była przestrzenią Hausdorffa, a przestrzenie zdefiniowane z pominięciem tego warunku nazywa się przestrzeniami quasi-zwartymiSzablon:Odn.

Idea zwartości

Z punktu widzenia topologii przestrzenie zwarte mają pewne pożądane własności, np.

1. funkcja ciągła rzeczywista określona na przestrzeni zwartej jest ograniczona i osiąga swoje kresy,
2. funkcja ciągła rzeczywista lub zespolona na przestrzeni metrycznej zwartej jest jednostajnie ciągła,
3. każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna,
4. w przestrzeni zwartej własność $p$ spełniana lokalnie jest też spełniana globalnie, tzn. jeżeli jakiekolwiek zbiory otwarte $V,U$ mają własność $p,$ to również ich suma $V\cup U$ ma tę własnośćSzablon:Fakt.

Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych.

Przykłady zbiorów zwartych i niezwartych

(1) Tw. 1. Przedział $(0,1)\subset ℝ$ nie jest zbiorem zwartym.

Dowód: Rodzina zbiorów otwartych

$\{(\frac{1}{n},\frac{2}{n}):n\in \mathbb{N},n⩾2\}=\{(\frac{1}{2},1),(\frac{1}{3},\frac{2}{3}),(\frac{1}{4},\frac{1}{2}),(\frac{1}{5},\frac{2}{5}),\dots \}$

jest pokryciem tego przedziału (każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały przedział $(0,1).$

(2) Tw. 2. Przedział $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })=ℝ$ nie jest zbiorem zwartym.

Dowód: Rodzina zbiorów otwartych

$\{(n,n+2):n\in \mathbb{Z}\}=\{\dots (-3;-1),(-2;0),(-1;1),(0;2),(1;3),\dots \}$

jest pokryciem zbioru $ℝ,$ ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby $ℝ.$

(3) Tw. 3. Przedział $[0,1]\subset ℝ$ jest zwarty.

Dowód: Niech $\sigma$ będzie pokryciem odcinka $[0,1].$ Zdefiniujmy zbiór

$Z=\{x:0⩽x⩽1$ i odcinek $[0,x]$ można pokryć skończoną podrodziną rodziny $\sigma \}$

Oczywiście $0\in Z,$ bo przedział $[0,0]=\{0\}$ jest pokryty pewnym elementem rodziny $\sigma .$ Zbiór $Z$ jest więc niepusty i ograniczony z góry. Ma więc kres górny $z$  i   $z\in [0,1].$

Zauważmy, że $z>0,$ bo biorąc jakieś otoczenie $A\in \sigma$ punktu $0,$ znajdziemy pewien przedział $[0;ϵ]\subset A,ϵ>0,$ a stąd $ϵ\in Z,$ czyli $z⩾ϵ>0.$

Przypuśćmy, że $z<1$ i niech $z\in A\in \sigma$ dla pewnego przedziału otwartego $A,$ istnieje wówczas przedział $[z-ϵ;z+ϵ]\subset A,ϵ>0,$ Ponieważ $z$ jest kresem górnym zbioru $Z,$ więc w przedziale $(z-ϵ;z]$ istnieje punkt $z_1\in Z.$ Istnieje więc skończona podrodzina ${\sigma }_1\subset \sigma$ pokrywająca przedział $[0;z_1].$ A stąd przedział $[0;z+\frac{ϵ}{2}]=[0;z_1]\cup [z-ϵ;z+\frac{ϵ}{2}]$ jest pokryty przez skończoną rodzinę ${\sigma }_1\cup \{A\}.$ Oznacza to, że $z+\frac{ϵ}{2}\in Z$ i $z$ nie jest kresem górnym zbioru $Z.$ Sprzeczność ta pokazuje, że $z=1.$

Niech $1\in A\in \sigma$ dla pewnego zbioru otwartego $A$ i rozważmy przedział $[1-ϵ;1]\subset A,ϵ>0.$ Podobnie jak wyżej, $1$ jest kresem górnym zbioru $Z,$ więc w przedziale $(1-ϵ;1]$ istnieje punkt $z_1\in Z.$ Istnieje więc skończona podrodzina ${\sigma }_1\subset \sigma$ pokrywająca przedział $[0;z_1].$ A stąd przedział $[0;1]=[0;z_1]\cup [1-ϵ;1]$ jest pokryty przez skończoną rodzinę ${\sigma }_1\cup \{A\},$ cnd.

Własności

Tw. 4. Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód: Niech $X$ będzie przestrzenią zwartą, a $f:X\to Y$ odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że obraz $f(X)$ jest zwarty. W tym celu weźmy dowolne otwarte pokrycie $\{V_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ zbioru $f(X).$ Wtedy $𝒱=\{f^{-1}(V_{\lambda }){\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ jest otwartym pokryciem $X.$ Istotnie, otwartość elementów rodziny $𝒱$ od razu wynika z ciągłości $f.$ Ponadto dla dowolnego $x\in X$ istnieje zbiór $V_{{\lambda }^{\prime }},$ taki że $f(x)\in V_{{\lambda }^{\prime }}.$ Dlatego też $x\in f^{-1}(V_{{\lambda }^{\prime }}).$ Na mocy zwartości $X$ istnieje skończona rodzina zbiorów $\{f^{-1}(V_{{\lambda }_1}),f^{-1}(V_{{\lambda }_2}),\dots ,f^{-1}(V_{{\lambda }_n})\}$ będąca pokryciem $X.$ Zatem rodzina $\{V_{{\lambda }_1},V_{{\lambda }_2},\dots ,V_{{\lambda }_n}\}$ jest otwartym, skończonym pokryciem $f(X).$ Oznacza to, że z dowolnego otwartego pokrycia $f(X)$ można wybrać skończone podpokrycie, co oznacza, że zbiór $f(X)$ jest zwarty, cnd.

Tw. 5. (Twierdzenie Weierstrassa o kresach)

Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w $ℝ$ jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy.

Dowód: Niech $f:X\to ℝ$ będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej $X.$ Wówczas $f(X)$ jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy Tw. Heinego-Borela $f(X)$ jest domknięty i ograniczony. Ograniczoność $f(X)$ oznacza, że $f$ jest ograniczona. Z definicji supremum i infimum, na mocy domkniętości $f(X)$ wynika że $\inf f(X)\in f(X)$ oraz $\sup f(X)\in f(X).$ Zatem $f$ przyjmuje swoje kresy, cnd.

Tw. 6. (Twierdzenie Tichonowa)

(a) Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową) jest zwarty.

(b) Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód: Niech $X$ będzie przestrzenią Hausdorffa, a $A\subset X$ jej zwartym podzbiorem. Aby udowodnić, że $A$ jest domknięty uzasadnimy, że $X\setminus A$ jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego $x\in X\setminus A$ istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru $A.$
Niech $x\in X\setminus A,$ $y\in A.$ Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieją otoczenie $V_y$ punktu $x$ oraz otoczenie $U_y$ punktu $y$ takie że $V_y\cap U_y=\mathrm{\varnothing }.$
Rodzina $\{U_y{\}}_{y\in A}$ stanowi otwarte pokrycie $A.$ Na mocy zwartości $A$ istnieje skończone podpokrycie $\{U_{y_1},U_{y_2},\dots ,U_{y_n}\}.$ Każdy zbiór $U_{y_i}$ jest rozłączny z odpowiednim zbiorem $V_{y_i}.$ Zatem przekrój $V=\bigcap _{i=1}^n{V}_i$ jest rozłączny z każdym ze zbiorów $U_{y_i}.$ Więc $V$ jest otoczeniem $x,$ które jest rozłączne z $A.$ Z dowolności $x$ wynika, że zbiór $A$ jest domknięty, cnd.

Tw. 7. Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni $X$ na przestrzeń Hausdorffa $Y$ jest homeomorfizmem.

Dowód: Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte. Niech $A\subset X$ będzie domknięty i niech $f:X\to Y$ będzie ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni $X$ w przestrzeń Hausdorffa $Y.$ Wówczas $A$ jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd $f(A)$ jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc $f(A)$ jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa, cnd.

Tw. 8. Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód: Niech $A\subset X$ będzie domkniętym podzbiorem przestrzeni zwartej $X.$ Weźmy dowolne otwarte pokrycie $\{U_i{\}}_{i\in I}$ zbioru $A.$ Ponieważ $A$ jest domknięty, to jego dopełnienie jest otwarte i razem z $\{U_i{\}}_{i\in I}$ stanowi otwarte pokrycie przestrzeni $X.$ Ponieważ przestrzeń $X$ jest zwarta, więc z jej pokrycia $\{U_i{\}}_{i\in I}\cup \{X\setminus A\}$ możemy wybrać skończone podpokrycie $𝒟$ przestrzeni $X.$ Ale $A\subset X,$ więc $𝒟$ jest zarazem pokryciem zbioru $A.$ Zatem $A$ jest zwarty, cnd.

Tw. 9. Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.

Zwartość w przestrzeniach metrycznych

Przedział $A=(-\mathrm{\infty },-2]$ nie jest zwarty, bo nie jest ograniczony. Przedział $C=(2,4)$ nie jest zwarty, bo nie jest domknięty. Przedział $B=[0,1]$ jest zwarty, bo jest domknięty i ograniczony.

Tw. 10. Niech $X$ będzie przestrzenią metryczną. Następujące warunki są równoważne:

• przestrzeń $X$ jest zwarta,
• każdy ciąg $(x_n)$ w tej przestrzeni zawiera podciąg $(x_{n_k})$ zbieżny do punktu należącego do tej przestrzeni (tzn. $X$ jest ciągowo zwarta),
• z każdego przeliczalnego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, tzn. $X$ jest przeliczalnie zwarta,
• dla każdej funkcji ciągłej $f:X\to ℝ$ obraz $f(X)$ jest ograniczony, tzn. $X$ jest pseudozwarta.

Tw. 11. Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.

Dowód: Niech $A$ będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej $(X,d).$
Należy udowodnić, że $\mathrm{diam}(A)=\sup \{d(x,y):x,y\in A\}<\mathrm{\infty }.$
Wykorzystamy fakt, że metryka $d:X\times X\to ℝ$ jest ciągła. Obcięcie $f=d{|}_A$ jest ciągłe. Na mocy tw. Weierstrassa funkcja $f$ jest ograniczona. Zatem $\sup \{f(x,y):x,y\in A\}<\mathrm{\infty }.$ Czyli $\mathrm{diam}(A)<\mathrm{\infty }.$ Wykazaliśmy, że zbiór $A$ jest ograniczony, cnd.

(twierdzenie Heinego-Borela) Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Przykłady

Stosując powyższe twierdzenia, można łatwo stwierdzić, które poniższe przestrzenie są zwarte, a które nie:

• zwarty jest odcinek $[0,1]\subset ℝ,$ bo jest domknięty i ograniczony,
• odcinek $(0,1)\subset ℝ$ nie jest zwarty, bo nie jest domknięty,
• zwarta nie jest również cała prosta liczbowa $ℝ,$ bo jest zbiorem nieograniczonym,
• zwarty jest zbiór Cantora.

Pseudozwartość

Przestrzeń topologiczną nazywamy pseudozwartą jeśli jest przestrzenią Tichonowa i każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych jest ograniczonaSzablon:Odn. Każda przestrzeń zwarta jest pseudozwarta, jednak istnieją przestrzenie pseudozwarte, które nie są zwarte. Na przykład liczba porządkowa ${\omega }_1$ z topologią porządkową jest pseudozwarta, ale nie jest zwarta.

Zwartość a ciągowa zwartość

Szablon:Osobny artykuł Przestrzeń topologiczną $X$ nazywamy ciągowo zwartą jeśli każdy ciąg $(x_n)$ w tej przestrzeni zawiera podciąg $(x_{n_k})$ zbieżny, tzn. istnieje element $x\in X$ taki, że każde otwarte otoczenie $U$ punktu $x$ zawiera wszystkie elementy ciągu $(x_{n_k})$ poza co najwyżej skończoną ich liczbąSzablon:Odn. W klasie przestrzeni metryzowalnych pojęcia zwartości i ciągowej zwartości pokrywają się. Istnieją jednak przestrzenie zwarte, które nie są ciągowo zwarte oraz przestrzenie ciągowo zwarte, które nie są zwarte (na przykład, liczba porządkowa ${\omega }_1$ z topologią porządkową).

Pojęcia pokrewne

• przestrzeń Lindelöfa
• przestrzeń parazwarta
• przestrzeń przeliczalnie zwarta

Zobacz też

• kompaktyfikacja przestrzeni
• przestrzeń lokalnie zwarta
• przestrzeń spójna
• topologia Tichonowa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-10-09].