Twierdzenie Weierstrassa o kresach

Karl Weierstraß (1815–1897)

Twierdzenie Weierstrassa o kresachSzablon:Odn (znane też pod innymi nazwami) – twierdzenie analizy matematycznej i topologii o własnościach ciągłych funkcji rzeczywistych. W najprostszym przypadku jest to fakt analizy rzeczywistej o takich funkcjach na domkniętych i ograniczonych przedziałach rzeczywistych; mówi, że funkcje te mają globalne ekstrema – wartości najwyższą i najniższą, inaczej maksimum i minimum. Twierdzenia Weierstrassa o kresach używa się w dowodach innych faktów analizy rzeczywistej jak twierdzenie Rolle’aSzablon:Odn.

Przedziały domknięte i ograniczone są ciągowo zwarte na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa i zwarte na mocy twierdzenia Heinego-Borela. Powyższe twierdzenie Weierstrassa o kresach ma uogólnienia opisujące funkcje ciągłe na innych zbiorach zwartych, rozważanych w:

• dowolnych przestrzeniach euklidesowychSzablon:OdnSzablon:Odn;
• dowolnych innych przestrzeniach metrycznych;
• dowolnych innych przestrzeniach topologicznychSzablon:OdnSzablon:Odn. Ta postać jest też znana jako uogólnione twierdzenie WeierstrassaSzablon:Odn.

Nazwa upamiętnia niemieckiego matematyka z XIX wieku: Karla WeierstrassaSzablon:Odn.

Nazewnictwo

Fakt ten jest też znany jako twierdzenie:

• WeierstrassaSzablon:Odn;
• Weierstrassa o osiąganiu kresówSzablon:OdnSzablon:Odn;
• Weierstrassa o przyjmowaniu kresówSzablon:OdnSzablon:Odn;
• Weierstrassa o ekstremach globalnychSzablon:Odn;
• Weierstrassa o funkcji ciągłej na przedziale domkniętym;
• o najmniejszej i największej wartości funkcjiSzablon:Odn.

Bywa też wykładany bez osobnej nazwySzablon:Odn.

Przypadek zmiennej rzeczywistej

Wykres przedstawia ciągłą funkcję $f$ określoną na przedziale domkniętym $[a,b].$ Twierdzenie Weierstrassa o kresach mówi, że w tym przedziale istnieją ekstrema globalne, czyli maksimum i minimum, oznaczone odpowiednio $c,d.$

Twierdzenie

Jeśli funkcja rzeczywista $f:[a,b]\to ℝ$ jest ciągła, to:

1. jej obraz jest ograniczony;
2. funkcja ta osiąga swoje kresy, tzn. ma globalne minimum i maksimum:

$\mathrm{\exists }c,d\in [a,b]\mathrm{\forall }x\in [a,b]:f(d)⩽f(x)⩽f(c).$

Dowód

1. Każdy z przedziałów $(-M,M),$ dla $M\in ℝ,$ jest zbiorem otwartym, a $f$ jest ciągła, więc ich przeciwobrazy $f^{-1}[(-M,M)]$ też są otwarte (w zbiorze $[a,b]$). Rodzina $\{f^{-1}[(-M,M)]:M\in ℝ\}$ pokrywa przedział $[a,b],$ więc ze zwartości tego ostatniego istnieje podpokrycie skończone – istnieją $M_1,\dots ,M_s>0,$ dla których $[a,b]=f^{-1}[(-M_1,M_1)]\cup \dots \cup f^{-1}[(-M_s,M_s)].$ Wówczas dla dowolnego $x\in [a,b]$ mamy $-M⩽f(x)⩽M,$ gdzie $M=\max \{M_1,\dots ,M_S\},$ co oznacza, że $f$ jest funkcją ograniczoną.
2. Oznaczmy kres górny obrazu $f$ przez $\tilde{d}.$ $\tilde{d}\in ℝ$ i istnieje ciąg $(d_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ punktów przedziału $[a,b]$ dla których ciąg $f(d_n)$ jest zbieżny do $\tilde{d}.$ Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg $(d_{n_k}{)}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ ciągu $(d_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ zbieżny do pewnej granicy $d.$ Wtedy na mocy ciągłości funkcji $f$ otrzymujemy $f(d)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(d_{n_k})=\tilde{d}.$ A więc wartość funkcji $f$ w punkcie $d\in [a,b]$ jest kresem górnym obrazu $f$ (a więc także $f(x)⩽f(d)$ dla wszystkich $x\in [a,b]$). W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby $c,$ dla której $f(c)=\inf \{f(x):a⩽x⩽b\}.$

Analiza założeń

Funkcja tangens na przedziale ograniczonym $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ jest ciągła i nie jest na nim ograniczona. Ograniczenie obrazu funkcji jest gwarantowane tylko przy dodatkowym założeniu, że przedział, na którym funkcja jest ciągła, jest także domkniętySzablon:Odn.

Oba założenia o dziedzinie funkcji – czyli że odcinek $[a,b]$ jest domknięty i ograniczony – są istotneSzablon:Odn. Na przykład:

• funkcja $f:(0,1]\ni x\mapsto 1/x\in ℝ$ jest ciągła, ale nie jest ograniczona;
• podobnie $f:ℝ\ni x\mapsto e^x\in ℝ$ nie jest ograniczona, mimo że dziedzina – cała prosta – jest domknięta.

Bibliografia

Książki publikowane drukiem

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Dokumenty cyfrowe

• Szablon:Cytuj

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Alicja Dembczak-Kołodziejczyk, Jak wyznaczyć największą/najmniejszą wartość funkcji?, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-14].