Dziedzina (matematyka)

Szablon:Inne znaczenia Dziedzina – dwuznaczne pojęcie matematyczno-logiczne:

• dziedzina relacji binarnej to zbiór wszystkich poprzedników par (pierwszych elementów pary), należących do danej relacjiSzablon:OdnSzablon:Odn:

$R\subseteq X\times Y\Rightarrow D(R):=\{x\in X:\mathrm{\exists }y\in YxRy\}.$

W szczególności dziedzina funkcji to zbiór jej wszystkich argumentów – obiektów, dla których ma określone wartości; dla funkcji $f:X\to Y$ zbiór $X$ oznacza się $\mathrm{dom}f$Szablon:Fakt lub $D_f$. Dla tak rozumianej dziedziny funkcji proponowano też nazwę pole, przy czym pole relacji oznacza co innegoSzablon:Odn;

• dziedzina funkcji (wyrażenia) to także zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których wzór funkcji ma sens; jest to najszerszy – w sensie inkluzji – podzbiór osi rzeczywistej, który może być dziedziną w pierwszym sensie. Zbiór ten jest też znany jako dziedzina naturalna danego wyrażenia i dla funkcji $f$ również oznacza się go $D_f$. Analogiczne pojęcie dziedziny naturalnej można rozważać dla funkcji zespolonychSzablon:Fakt.

Dziedzinę funkcji można też celowo zawężyć do zbioru mniejszego niż dziedzina naturalna. -- zobacz Zawężenie funkcji, wówczas "dziedziną" określa się zbiór do którego zawężono definicję funkcji. Własności funkcji mogą zależeć od dziedziny, z którą są rozpatrywane funkcje. Na przykład funkcja $f(x):x\to x^2$ jest różnowartościowa jeśli jej dziedziną jest $[0,\mathrm{\infty })$, ale nie ma tej własności jeśli rozpatrujemy ją z dziedziną $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

Pierwsze z tych pojęć uogólnia się na relacje wieloczłonowe – dla relacji $n$-członowej $R\subseteq X_1\times ...\times X_n$ definiuje się $n$ różnych dziedzinSzablon:Odn: $D_1,...,D_n.$

Przykłady

• Ciągi nieskończone definiuje się jako funkcje, których dziedziną jest zbiór wszystkich liczb naturalnych: $a_n:\mathbb{N}\to Y.$

Dziedziny naturalne funkcji elementarnych

• Dziedziną wielomianów, funkcji wykładniczych, sinusa, cosinusa i arcus tangensa może być cała oś rzeczywista lub szerzej: płaszczyzna zespolona.
• Dla niektórych funkcji wymiernych innych niż wielomiany dziedziną może być cała oś rzeczywista – przykładem jest rozkład Cauchy’ego. Z kolei dziedzina dowolnej homografii nie zawiera co najmniej jednego punktu, przez niemożność dzielenia przez zero.
• Pierwiastek arytmetyczny stopnia nieparzystego z dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą rzeczywistą. Za do dla stopnia parzystego, np. pierwiastka kwadratowego, wartości rzeczywiste są przyjmowane tylko dla liczb nieujemnych. Podobnie jest z funkcjami potęgowymi o wykładniku niewymiernym.
• Dla logarytmów o wartościach rzeczywistych najszerszą dziedziną jest półoś liczb dodatnich; rozważa się logarytmy z liczb ujemnych, jednak wartości są wtedy zespolone.
• Jest nieskończenie wiele liczb rzeczywistych, dla których funkcja tangens nie jest określona; jej dziedziną nie może być np. półprosta.
• Dwie podstawowe funkcje kołowe – arkus sinus i arkus cosinus – przyjmują wartości rzeczywiste tylko na przedziale domkniętym $[-1;1]$.

Własności

• Dziedzina sumy relacji jest sumą ich dziedzinSzablon:Odn:

$D(R_1\cup R_2)=D(R_1)\cup D(R_2).$

• Dziedzina przekroju relacji to podzbiór przekroju ich dziedzinSzablon:Odn:

$D(R_1\cap R_2)\subseteq D(R_1)\cap D(R_2).$

• Dowolna dziedzina różnicy relacji wieloczłonowych to nadzbiór różnic ich dziedzinSzablon:Odn:

$R_1,R_2\subseteq X_1\times ...\times X_n\Rightarrow \mathrm{\forall }k\in \{1,...,n\}:D_k(R_1\mathrm{\setminus }{R}_2)\supseteq D_k(R_1)\mathrm{\setminus }{D}_k(R_2).$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-30].