Zawężenie funkcji

Szablon:Spis treści ZawężenieSzablon:OdnSzablon:Odn a. obcięcie funkcjiSzablon:OdnSzablon:Odn (rzad. restrykcja funkcjiSzablon:Odn) – ograniczenie dziedziny danej funkcji do pewnego jej podzbioruSzablon:Odn. Dokładniej, zawężenie danej funkcji $f:X\to Y$ do zbioru $U\subset X$ jest funkcją $g:U\to Y,$ której dowolny argument $u\in U$ spełnia równość $g(u)=f(u)$Szablon:Odn.

Formalne konstrukcje

Przekrój zbiorów

Niech dana będzie relacja funkcyjna $f\subset X\times Y$ oraz ustalony podzbiór $U\subset X.$ Zawężeniem $f{|}_U$ funkcji $f$ do zbioru $U$ jest relacja

$f\cap (U\times Y)$ = $\{(x,y)\in f:x\in U\}.$

Relacja $f{|}_U$ również jest relacją funkcyjną, co wynika z następującego rozumowania:

jeśli $(u,y_1)\in f{|}_U$ oraz $(u,y_2)\in f{|}_U,$ to $(u,y_1)\in f$ oraz $(u,y_2)\in f,$ skąd $y_1=y_2$Szablon:Odn.

Złożenie relacji dwuczłonowych

Równoważnie definicję obcięcia funkcji można wyrazić za pomocą złożenia relacjiSzablon:Odn:

$f{|}_U=f\circ {\mathrm{\Delta }}_U,$ gdzie ${\mathrm{\Delta }}_U:=\{(x,x)\in X\times X:x\in U\}.$

Definicja ta jest równoważna poprzedniej bowiem

$\begin{array}{cc}f\circ {\mathrm{\Delta }}_U& =\{(x,y)\in X\times Y:{\mathrm{\exists }}_{u\in U}(x,u)\in {\mathrm{\Delta }}_U\text{ oraz }(u,y)\in f\}\\ & =\{(x,y)\in X\times Y:{\mathrm{\exists }}_{u\in U}x=u\text{ oraz }(u,y)\in f\}\\ & =\{(x,y)\in f:x\in U\}=f{|}_U.\end{array}$

Zobacz też

• funkcja częściowa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Encyklopedia PWN
• Szablon:Cytuj stronę