Dzielenie przez zero

Błąd przy próbie dzielenia przez zero na kalkulatorze

Dzielenie przez zero – dzielenie, w którym dzielnik jest zerem; jako takie nie ma ono sensu liczbowego, przez co bywa źródłem błędów obliczeniowych, często ukrytych.

Prostym przykładem błędu wynikłego z dzielenia przez zero jest następujący: niech $a=1$ i $b=1,$ wówczas skoro $a=b,$ to również $a^2=b^2$ oraz $a^2-b^2=0,$ a ze wzoru na różnicę kwadratów jest $(a-b)(a+b)=0.$ Dzieląc stronami przez $a-b,$ uzyskuje się

$\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}=\frac{0}{a-b},$

co jest równoważne $a+b=0,$ a więc $1+1=0,$ skąd $2=0.$ Otrzymana sprzeczność wynika z zastosowania dzielenia przez $a-b=1-1=0.$

Wyjaśnienie

W grupie abelowej $𝐆$ z działaniem ‘$\cdot$’ każde równanie postaci

$a=b\cdot x$

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Tym samym w grupie $𝐆$ zdefiniowana jest funkcja, która każdej parze elementów $a,b\in 𝐆$ przypisuje dokładne jeden element oznaczany $\frac{a}{b}.$ Jest to więc działanie odwrotne względem ‘$\cdot$’ nazywane dzieleniem (w terminologii addytywnej – odejmowaniem).

Jeśli grupa $𝐆$ jest grupą multiplikatywną pewnego ciała $𝐊,$ to tym samym zdefiniowane jest dzielenie w zbiorze elementów niezerowych ciała $𝐊.$

Próba rozszerzenia dziedziny tego działania na wszystkie elementy ciała prowadzi do prób rozwiązania następujących równań:

• $0=b\cdot x,b\ne 0$
  Ma ono dokładnie jedno rozwiązanie $x=0.$ Jeśli zamiast ciała mamy pierścień z dzielnikami zera i b jest takim niezerowym dzielnikiem zera, to rozwiązaniem tego równania jest pewien niezerowy dzielnik zera, czyli rozwiązań jest więcej niż jedno.
• $a=0\cdot x,a\ne 0$
  Równanie to jest sprzeczne, bo w dowolnym ciele (ogólniej – w dowolnym pierścieniu) zachodzi $0\cdot x=0$ dla każdego $x\in 𝐊.$
• $0=0\cdot x$
  Równanie to jest nieoznaczone, tzn. jest spełnione dla każdego elementu ciała (ogólniej – każdego elementu pierścienia).

W efekcie w każdym ciele jedynie wyrażenie postaci $\frac{a}{b}$ dla $b\ne 0$ ma dokładnie jedną, konkretną wartość, w szczególności $\frac{0}{b}=0$ dla dowolnego $b\ne 0.$ Dołączenie warunku $\frac{0}{b}=0,$ $b\ne 0$ do definicji dzielenia nie prowadzi jednak do rozciągnięcia definicji dzielenia na zerowe liczniki, bowiem dziedzina działania dwuargumentowego musi być identyczna dla każdego argumentu.

Natomiast wyrażeniu $\frac{a}{0},$ $a\ne 0$ nie można przypisać żadnej wartości, a wyrażeniu $\frac{0}{0}$ odpowiadałaby dowolna wartość. I oba przypadki nie spełniają warunków definicji działania.

W testowaniu oprogramowania dzielenie przez zero może zostać wyłapane poprzez zgadywanie błędów.

Oznaczenia

Szablon:Osobny artykuł Choć symbol $\frac{a}{0}$ dla dowolnego $a,$ również dla zera, nie ma sensu, to oznaczenie to stosuje się w analizie matematycznej do oznaczania niewłaściwych granic ciągów czy granic funkcji. Jeśli $a\ne 0$ jest dowolną liczbą, to symbol ten oznacza, że granicą ciągu bądź funkcji jest $\pm \mathrm{\infty }$ (w zależności od znaku tej liczby). Symbol $\frac{0}{0}$ oznacza, że dana granica może mieć dowolną granicę właściwą bądź niewłaściwą, bądź może nie istnieć. W przypadku liczb rzeczywistych pomocne mogą się okazać inne kryteria zbieżności, np. twierdzenie Stolza w przypadku ciągów lub jego różniczkowy odpowiednik dla funkcji – reguła de l’Hospitala. Symbole te stosuje się również w kontekście liczb zespolonych, gdzie standardowo mają podobną interpretację.

Zobacz też

• dzielnik zera

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Szablon:Otwarty dostęp Michał Szurek, Dlaczego nie dzielimy przez zero?, „Młody Technik”, mlodytechnik.pl [dostęp 2023-11-24].
• Szablon:Otwarty dostęp Małgorzata Mikołajczyk, Dlaczego nie można dzielić przez zero?, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 5 sierpnia 2015 [dostęp 2023-11-24].
• Szablon:Otwarty dostęp Nagrania Khan Academy na YouTube [dostęp 2023-11-24]:
  • Dlaczego dzielenie przez zero nie ma sensu?, 24 marca 2013;
  • Dlaczego matematykom nie udało się określić wyniku dzielenia przez zero?, 19 czerwca 2013.
  • Dlaczego wynik dzielenia zera przez zero jest nieokreślony, 19 czerwca 2013.

Anglojęzyczne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-02-02].