Reguła de l’Hospitala

Przykład zastosowania reguły de l’Hospitala dla funkcji $f(x)=\sin (x)$ i $g(x)=-0,5x:$ funkcja $h(x)=f(x)/g(x)$ jest nieokreślona w punkcie $x=0,$ ale może zostać rozszerzona jako funkcja ciągła na cały zbiór $ℝ$, jeśli przyjmie się, że $h(0)=f^{\prime }(0)/g^{\prime }(0)=-2$.

Reguła de l’Hospitala lub de l’Hôpitala – twierdzenie w analizie matematycznej, konkretniej analizie rzeczywistej i rachunku różniczkowym, umożliwiające obliczanie niektórych granic funkcji w sytuacjach, gdzie występują symbole nieoznaczone $\frac{0}{0}$ i $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Twierdzenie to opisuje zarówno granice funkcji w punkcie, jak i w nieskończoności, a także zarówno granice właściwe – inaczej skończone – jak i niewłaściwe, czyli nieskończone.

Twierdzenie

Podobne fakty

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt $a$ oraz

1. $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0,$
2. $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0,$

oraz istnieją (skończone) pochodne $f^{\prime }(a)$ i $g^{\prime }(a),$ przy czym $g^{\prime }(a)\ne 0,$

wówczas

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}.$

Jeśli dodatkowo $f$ i $g$ mają ciągłe pochodne w punkcie $a,$ toSzablon:Odn:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.

$\begin{array}{cc}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-e^{-x}}{\ln (e-x)+x-1}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(e^x+e^{-x})}{\frac{-1}{e-x}+1}=\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(e^x+e^{-x})}{\frac{-1+(e-x)}{e-x}}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(e^x+e^{-x})(e-x)}{-1+(e-x)}=\frac{2e}{e-1}.\end{array}$

Często zdarza się jednak, że funkcje $f$ i $g$ nie są określone w punkcie $a,$ jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane regułą de l’Hospitala:

Wersja dla granic w punkcie

Niech funkcje $f$ i $g$ będą określone w przedziale $(a,b]$ oraz

1. $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=0,$
2. $\underset{x\to a^{+}}{\lim }g(x)=0,$

lub

1. $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty },$
2. $\underset{x\to a^{+}}{\lim }g(x)=\pm \mathrm{\infty },$

oraz istnieją (skończone) pochodne $f^{\prime }$ i $g^{\prime }$ w przedziale $(a,b],$ przy czym $g^{\prime }(x)\ne 0$ dla $x\in (a,b].$

Wówczas, jeśli istnieje granica

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=K,$

to wtedy również

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=K.$

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnychSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn.

Wersja dla granic w nieskończoności

Niech funkcje $f$ i $g$ będą określone w przedziale $[c,\mathrm{\infty })$ oraz

1. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0,$
2. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=0,$

lub

1. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty },$
2. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=\pm \mathrm{\infty },$

oraz istnieją (skończone) pochodne $f^{\prime }$ i $g^{\prime }$ w przedziale $[c,\mathrm{\infty }),$ przy czym $g^{\prime }(x)\ne 0$ dla $x\in [c,\mathrm{\infty }).$

Wówczas, jeśli istnieje granica

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=K,$

to wtedy również

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=K.$

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy $x\to -\mathrm{\infty }$Szablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn.

Wersja dla funkcji różniczkowalnych wielokrotnie

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są określone w przedziale otwartym $I$ zawierającym punkt $a$ oraz

1. w przedziale $I$ istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do $n$ włącznie funkcji $f$ i $g,$
2. $f(a)=f^{\prime }(a)=\dots =f^{(n-1)}(a)=0,$ $g(a)=g^{\prime }(a)=\dots =g^{(n-1)}(a)=0,$ oraz $g^{(n)}(a)\ne 0,$
3. $g(x)\ne 0$ dla $x\in I\setminus \{a\},$

wówczas

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Historia

Guillaume François Antoine de l’Hospital (1661–1704)

Regułę tę opisał po raz pierwszy Johann Bernoulli, opublikował zaś jego uczeń Guillaume François Antoine de l’Hospital. W 1696 de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, w którym zawarto to twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzeniaSzablon:Fakt, niemniej jednak nazwa reguła de l’Hospitala jest powszechnie używana.

Nazwa reguła de l’Hospitala została użyta po raz pierwszy w 1905 roku, w podręczniku do analizy matematycznej autorstwa Édouarda Goursata.

Zobacz też

• twierdzenie Stolza

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-06-20].
• Szablon:Otwarty dostęp L'Hospital rule Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].