Granica niewłaściwa funkcji

Wartość bezwzględna – prosty przykład funkcji, która ma granice niewłaściwe w nieskończoności; konkretniej w obu nieskończonościach ma granicę niewłaściwą dodatnią (+∞).

Funkcja $y=1/x^2$ ma w zerze (punkcie $x=0$) granicę niewłaściwą dodatnią.

Funkcja odwrotności y=1/x nie ma nigdzie granic niewłaściwych, jednak ma w zerze niewłaściwe granice jednostronne – z prawej strony dodatnią, a z lewej ujemną.

Granica niewłaściwa funkcji – pojęcie analizy matematycznej definiowane analogicznie do granicy funkcji – w punkcie lub nieskończoności; granica niewłaściwa nie jest liczbą rzeczywistą ani zespoloną w ścisłym, skończonym sensie, lecz elementem pewnych rozszerzeń tych zbiorów. W przypadku funkcji rzeczywistych zwykle za zbiór granic przyjmuje się rozszerzenie afiniczne, to znaczy wyróżnia się dwie możliwe granice niewłaściwe: dodatnią lub ujemną. Granice niewłaściwe występują dla niektórych funkcji nieograniczonych.

Niewłaściwe granice w nieskończoności dotyczą m.in. wszystkich funkcji nieograniczonych monotonicznychSzablon:Fakt. Z kolei granice niewłaściwe w punkcie definiuje się na końcach przedziałów otwartych określoności funkcji, czyli w punktach skupienia jej dziedziny spoza tej dziedziny. Punkty z granicą niewłaściwą bywają zaliczane do punktów nieciągłości funkcji, konkretniej do nieciągłości nieusuwalnych.

Definicje Heinego

Definicje sformułowane przez Heinego.

Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(a,\mathrm{\infty }),$ $-\mathrm{\infty }⩽a<\mathrm{\infty }.$ Liczba $g$ jest granicą właściwą funkcji $f$ w $\mathrm{\infty },$ co zapisujemy

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=g$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\mathrm{\forall }(x_n)\mathrm{\forall }(x_n)\subset (a,\mathrm{\infty })[(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\mathrm{\infty })\to (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=g)].$

Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w minus nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(-\mathrm{\infty },a),$ $-\mathrm{\infty }⩽a<\mathrm{\infty }.$ Liczba $g$ jest granicą właściwą funkcji $f$ w $-\mathrm{\infty },$ co zapisujemy

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=g$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\mathrm{\forall }(x_n)\mathrm{\forall }(x_n)\subset (-\mathrm{\infty },a)[(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=-\mathrm{\infty })\to (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=g)].$

Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(a,\mathrm{\infty }),$ $-\mathrm{\infty }⩽a<\mathrm{\infty }.$ Funkcja $f$ ma w $\mathrm{\infty }$ granicę niewłaściwą $\mathrm{\infty },$ co zapisujemy

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\mathrm{\forall }(x_n)\mathrm{\forall }(x_n)\subset (a,\mathrm{\infty })[(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\mathrm{\infty })\to (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=\mathrm{\infty })].$

Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w minus nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(-\mathrm{\infty },a),$ $-\mathrm{\infty }⩽a<\mathrm{\infty }.$ Funkcja $f$ ma w $-\mathrm{\infty }$ granicę niewłaściwą $\mathrm{\infty },$ co zapisujemy

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\mathrm{\forall }(x_n)\mathrm{\forall }(x_n)\subset (-\mathrm{\infty },a)[(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=-\mathrm{\infty })\to (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=\mathrm{\infty })].$

Definicja Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(a,\mathrm{\infty }),$ $-\mathrm{\infty }⩽a<\mathrm{\infty }.$ Funkcja $f$ ma w $\mathrm{\infty }$ granicę niewłaściwą $-\mathrm{\infty },$ co zapisujemy

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\mathrm{\forall }(x_n)\mathrm{\forall }(x_n)\subset (a,\mathrm{\infty })[(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\mathrm{\infty })\to (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=-\mathrm{\infty })].$

Definicja Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w minus nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(-\mathrm{\infty },a),$ $-\mathrm{\infty }⩽a<\mathrm{\infty }.$ Funkcja $f$ ma w $-\mathrm{\infty }$ granicę niewłaściwą $-\mathrm{\infty },$ co zapisujemy

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\mathrm{\forall }(x_n)\mathrm{\forall }(x_n)\subset (-\mathrm{\infty },a)[(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=-\mathrm{\infty })\to (\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=-\mathrm{\infty })].$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Jarosław Woźniak, Aneta Rogalska, Granica niewłaściwa funkcji w punkcie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-08-19].
• Szablon:Otwarty dostęp Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 5: Obliczanie granic, 3. Arytmetyka granic niewłaściwych, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-19].
• Szablon:Otwarty dostęp Szymon Charzyński, nagrania na kanale Khan Academy Po Polsku na YouTube [dostęp 2023-08-19]:
  • Wprowadzenie do granic niewłaściwych, 27 marca 2022.
  • Granice niewłaściwe i asymptoty, 4 kwietnia 2022.
  • Granice niewłaściwe funkcji wymiernych, 2 maja 2017.