Granica jednostronna

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).

Definicje

Liczba $g$ jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji $f$ w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia $x_0$ dziedziny, co zapisuje się

$f(x)\to g$ przy $x\to x_0^{-}$ (odpowiednio: $f(x)\to g$ przy $x\to x_0^{+}$)

lub

$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=g$ (odpowiednio: $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=g$),

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego

dla każdego ciągu $(x_n)$ takiego, że dla dowolnego $n\in \mathbb{N}{x}_n\in A,x_n<x_0$ (odpowiednio: $x_n>x_0$)   oraz $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x_0,$ ciąg wartości funkcji $(f(x_n))$ dąży do $g$ przy $n\to \mathrm{\infty };$

definicja Cauchy’ego

${\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{\delta >0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}(x_0-\delta <x<x_0⟹|f(x)-g|<\epsilon )$ (odpowiednio: ${\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{\delta >0}{\mathrm{\forall }}_{x\in A}(x_0<x<x_0+\delta ⟹|f(x)-g|<\epsilon )$).

Jeśli w punkcie x₀ funkcja f ma nieskończoną granicę jednostronną, to prosta x = x₀ nazywa się asymptotą pionową funkcji f.