Asymptota

Funkcja $\frac{1}{x}+x$ ma dwie asymptoty: $y=x$ oraz $x=0.$

Krzywa może przecinać asymptotę również nieskończoną liczbę razy

Na powyższym rysunku, funkcja $\frac{1}{x}$ ma dwie asymptoty: $x=0$ oraz $y=0,$ które są obustronne

Asymptota krzywej (gr. ἀσύμπτοτη, „nie stykać się”) – prosta $l$ jest asymptotą danej krzywej $C$ (w szczególności wykresu funkcji), jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej $C$ odległość tego punktu od prostej $l$ dąży do zera.

Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji.

Odmiany asymptot funkcji

Pionowe

Jeśli krzywa dana jest w postaci $y=f(x),$ gdzie $f$ jest funkcją, która nie jest określona w punkcie $x=a,$ to ma ona w tym punkcie asymptotę pionową, jeżeli istnieje granica niewłaściwa:

• $\underset{x\to a_{-}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ (asymptota lewostronna)
• $\underset{x\to a_{+}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ (asymptota prawostronna)
• $\underset{x\to a_{-}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }\wedge \underset{x\to a_{+}}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ (asymptota obustronna; w szczególności jedna granica może być równa $+\mathrm{\infty }$ a druga $-\mathrm{\infty }$)

Poziome i ukośne

Parametry asymptoty poziomej i ukośnej $y=ax+b$ dla krzywej danej w postaci $y=f(x)$ można wyznaczyć jako granice:

• w przypadku asymptoty prawostronnej:

$a=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}$

oraz

$b=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-ax)$

• w przypadku asymptoty lewostronnej:

$a=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}$

oraz

$b=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-ax)$

Jeśli przynajmniej jedna z granic wyznaczających $a$ lub $b$ nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą, to wykres nie ma odpowiedniej (prawo- lub lewostronnej) asymptoty ukośnej, ani poziomej. Jeśli $a=0,$ to wyznaczona asymptota jest pozioma – równoległa do osi odciętych.

Zobacz też

• granica funkcji

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]:
  • Asymptoty ukośne, 24 października 2018.
  • Więcej o asymptotach ukośnych, 25 października 2018.
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-30].
• Szablon:Otwarty dostęp Asymptote Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].