Punkt nieciągłości

Plik:Gamma abs arg.png

Wykres funkcji gamma Eulera (Γ) w dziedzinie zespolonej. W punktach całkowitych niedodatnich ($z\in {\mathbb{Z}}_{\le 0}$) ma ona nieusuwalne, odosobnione nieciągłości.

Plik:Sinx x.png

Wykres funkcji sinc. Jest ona ciągła, ponieważ nieciągłość funkcji (sin x)/x jest usuwalna i odosobniona.

Plik:Signum function.svg

Wykres funkcji signum, w punkcie x=0 nieciągłej w sposób odosobniony, nieusuwalny i pierwszego rodzaju (zwyczajny), konkretniej skokowy.

Punkt nieciągłości, nieciągłość – punkt w dziedzinie funkcji, w którym nie jest ciągła. Czasem wymaga się, żeby był to punkt skupienia tej dziedziny, a niekoniecznie jej element.

Rodzaje

Wyróżnia się kilka przenikających się odmian nieciągłości. Co najmniej dwie z nich są określone dla funkcji między dowolnymi przestrzeniami topologicznymi:

• punkt nieciągłości nazywa się odosobnionym, jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu funkcja jest ciągłaSzablon:Fakt. Przykład funkcji z odosobnioną nieciągłością to funkcja signum (znak) – punkt nieciągłości to 0. Przykładem funkcji, dla której każdy punkt jej dziedziny jest punktem nieciągłości, jest funkcja Dirichleta.
• Jeśli w punkcie nieciągłości istnieje granica funkcji, to taką nieciągłość nazywa się usuwalną.

Dodatkowe rodzaje nieciągłości definiuje się dla funkcji zmiennej rzeczywistej ($f:X\to Y,X\subseteq ℝ$):

• Punkt nieciągłości $p$ nazywa się nieciągłością zwyczajną lub pierwszego rodzaju, jeśli istnieją skończone granice jednostronne funkcji (lewostronna $\underset{x\to p-}{\lim }f(x)$ oraz prawostronna $\underset{x\to p+}{\lim }f(x)$)Szablon:Odn. Czasem wymaga się dodatkowo, by granice te były różne; w tym wypadku mówi się też o nieciągłości skokowej lub skoku funkcjiSzablon:Odn, choć ten drugi termin oznacza też różnicę między granicami jednostronnymi.

• O nieciągłości drugiego rodzaju mówi się, jeśli w danym punkcie skończone granice jednostronne nie istniejąSzablon:Odn. Czasem wymaga się, by co najmniej jedna z granic jednostronnych była nieskończona. W tym kontekście również mawia się o nieciągłości skokowej – jeśli obie granice są nieskończone i różne lub jedna jest skończona, a druga nie.

Twierdzenia

Dla funkcji rzeczywistej zbiór nieciągłości jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych. Istnieją też wyniki o nieciągłościach funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej ($f:X\to Y,X,Y\subseteq ℝ$):

• Funkcja monotoniczna w przedziale ma w nim wyłącznie nieciągłości skokoweSzablon:Odn.
• Pochodna funkcji ma przeliczalną liczbę nieciągłości skokowychSzablon:Odn.
• Niech $f:[a,b]\to ℝ$ będzie ograniczoną funkcją mierzalną. Funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zeroSzablon:Fakt.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-10-04].
  • Szablon:MathWorld [dostęp 2022-10-04].
  • Szablon:MathWorld [dostęp 2022-10-04].
  • Szablon:MathWorld [dostęp 2022-10-04].