Zbiór miary zero

Zbiór miary zero – zbiór mierzalny rozważanej przestrzeni mierzalnej $(X,𝔐)$ „nieistotny” z punktu widzenia zadanej na niej miary $\mu ,$ tzn. dowolny zbiór $A\in 𝔐$ spełniający $\mu (A)=0.$ Podzbiory zbiorów miary zero nazywa się zaniedbywalnymi (w szczególności każdy zbiór miary zero jest zaniedbywalny); jeśli miara jest zupełna (tj. zbiory zaniedbywalne są mierzalne), to z jej monotoniczności wynika też, że każdy zbiór zaniedbywalny jest miary zero, co oznacza, że wtedy pojęcia te są równoważne.

O własności przysługującej elementom pewnego zbioru miary zero mówi się, iż zachodzi prawie nigdzie, z kolei gdy dana własność zachodzi dla wszystkich elementów przestrzeni poza zbiorem zerowej miary, to zachodzi ona prawie wszędzie. W teorii prawdopodobieństwa zamiast wyrażeń „prawie nigdzie”, „prawie wszędzie” używa się wyrażeń „prawie nigdy”, „prawie na pewno/zawsze” (np. o możliwości zajścia zdarzenia losowego); ponieważ miara całej przestrzeni probabilistycznej jest równa jedności, to „prawie na pewno” oznacza „z prawdopodobieństwem 1”.

W przestrzeniach euklidesowych zbiory mierzy się zwykle za pomocą miary Lebesgue’a: w tym przypadku zbiory miary zero można scharakteryzować nie odwołując się do pojęć teorii miary; w lokalnie zwartych grupach topologicznych (którymi są m.in. przestrzenie euklidesowe) standardową miarą jest z kolei pewna (lewostronnie niezmiennicza) miara Haara (której przykładem jest miara Lebesgue’a).

Miara Lebesgue’a

Szablon:Zobacz też Podzbiory miary Lebesgue’a zero przestrzeni euklidesowych można scharakteryzować nie odwołując się bezpośrednio do pojęcia miary: podzbiór $A$ prostej $ℝ$ nazywa się zaniedbywalnym lub miary Lebesgue’a zero (na mocy zupełności tej miary; często krótko: „miary zero”), jeżeli można wybrać ciąg przedziałów otwartych dowolnie małej długości pokrywających ten zbiór, tzn. dla dowolnego $\epsilon >0$ istnieje taki ciąg przedziałów $(I_n),$ który spełnia

$A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_n$

oraz

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|I_n|<\epsilon ,$

gdzie $I_k=(a_k,b_k)$ oznacza przedział otwarty dla $a_k<b_k$ o długości $|I_k|=b_k-a_k.$ Definicja ta uogólnia się wprost na przestrzenie ${ℝ}^d,$ wtedy przedziały jednowymiarowe należy zastąpić przedziałami wielowymiarowymi, tj. zbiorami postaci $I=I_1\times \dots \times I_d,$ w których czynniki kartezjańskie są przedziałami otwartymi, a ich objętość dana jest wzorem $|I|=|I_1|\dots |I_d|.$ Wynika stąd w szczególności, że podzbiory, które można zanurzyć w ${ℝ}^{d-1}$ są miary zero ($d$-wymiarowej Lebesgue’a).

Przykłady

Niech dana będzie funkcja mierzalna $f:ℝ\to ℝ$ (w sensie Lebesgue’a). Mówi się, że jest ona ciągła prawie wszędzie (ciągła p.w.) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero (Lebesgue’a). Jeżeli $g:ℝ\to ℝ$ jest mierzalna (w sensie Lebesgue’a), to funkcje $f$ oraz $g$ są równe prawie wszędzie, tj. $f=g\mathrm{p}\mathrm{.}\mathrm{w}\mathrm{.},$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

$\{x\in ℝ:f(x)\ne g(x)\}$

jest miary (Lebesgue’a) zero; podobnie jeśli dany jest ciąg $(f_n)$ funkcji mierzalnych $f_n:ℝ\to ℝ,$ to nazywa się go zbieżnym prawie wszędzie do $f,$ tzn. $f_n\to f\mathrm{p}\mathrm{.}\mathrm{w}\mathrm{.},$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

$\{x\in ℝ:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)\ne f(x)\}$

ma miarę (Lebesgue’a) zero; dla funkcji $g:ℝ\to \overline{ℝ}$ o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, jeśli zbiór

$\{x\in A:g(x)\notin ℝ\}$

jest zaniedbywalny, to o funkcji $g$ mówi się, że jest prawie wszędzie skończona. Można również spotkać się z następującym skróconym zapisem (szczególnie w rachunku prawdopodobieństwa, gdzie miara jest prawdopodobieństwem): $\lambda (f=g)=0$ oraz $\lambda (f_n\to f)=0,$ $\lambda (g\in ℝ)=0$ oznaczającym odpowiednio równość $f$ oraz $g,$ zbieżność $f_n$ do $f$ oraz skończoność $g$ na zbiorach miary (Lebesgue’a) zero; w każdym z powyższych przypadków miarę Lebesgue’a $\lambda$ można zastąpić dowolną miarą $\mu$ określoną na ustalonym σ-ciele abstrakcyjnej przestrzeni mierzalnej.

Niech $𝔑$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych, które są miary Lebesgue’a zero: tworzy ona σ-ideał wśród podzbiorów liczb rzeczywistych. Należą do niego m.in. wszystkie zbiory jednopunktowe, a stąd również wszystkie zbiory przeliczalne, czy klasyczny zbiór Cantora (poprzez drobne zmiany konstrukcji można uzyskać zbiór Cantora o dowolnej mierze skończonej), ponadto każdy ze zbiorów należących do $𝔑$ zawiera się w zbiorze typu G_δ należącym do $𝔑.$ Dowolna rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów $ℝ,$ które nie są miary zero (w sensie Lebesgue’a), jest co najwyżej przeliczalna.

Zbiór liczb rzeczywistych $ℝ$ można przedstawić w postaci sumy dwóch rozłącznych zbiorów $M$ oraz $N,$ z których pierwszy jest zbiorem mizernym (zbiorem pierwszej kategorii), a drugi jest miary Lebesgue’a zero. Otóż jeżeli $\mathbb{Q}=\{q_1,q_2,q_3,\dots \}$ oznacza zbiór liczb wymiernych, zaś $I_{n,m}=(q_n-2^{-n-m-1},q_n+2^{-n-m-1})$ jest przedziałem otwartym o środku w $q_n$ i długości $2^{-(n+m)},$ to jako zbiór miary zero można przyjąć

$N=\bigcap _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_{n,m};$

jego dopełnienie $M=N^{\mathrm{c}}$ jest zbiorem mizernym. Innym przykładem powyższego rozkładu jest zbiór $N$ wszystkich liczb Liouville’a, który ma miarę zero oraz jego dopełnienie będące zbiorem pierwszej kategorii.

Niech ${ℝ}^d={ℝ}^m\times {ℝ}^n;$ konsekwencją zasady Cavalieriego jest fakt mówiący, że jeżeli $E$ jest podzbiorem miary zero w ${ℝ}^d,$ to

${\lambda }_m\left(E^y\right)=0$

dla prawie wszystkich $x\in {ℝ}^n$ i podobnie

${\lambda }_n\left(E_x\right)=0$

dla prawie wszystkich $y\in {ℝ}^m,$ gdzie ${\lambda }_k$ oznacza $k$-wymiarową miarę Lebesgue’a, a $E_x=\{x\in {ℝ}^n:(x,y)\in E\}$ oraz $E^y=\{y\in {ℝ}^m:(x,y)\in E\}.$ Uogólnieniem tej obserwacji jest następujący wniosek płynący z twierdzenia Fubiniego: jeżeli $(X,𝔐,\mu )$ oraz $(Y,𝔑,\nu )$ są dwiema przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi, przy czym $\lambda =\mu \otimes \nu$ jest miarą produktową określoną na przestrzeni produktowej $(X\times Y,𝔐\otimes 𝔑),$ to dla dowolnego zbioru mierzalnego $E$ na tej przestrzeni następujące warunki są równoważne:

• zbiór $E$ jest miary $\lambda$ zero;
• zbiór $\{x\in X:\nu (E^y)\ne 0\}$ jest miary $\mu$ zero;
• zbiór $\{y\in Y:\mu (E_x)\ne 0\}$ jest miary $\nu$ zero;

gdzie $E_x=\{x\in X:(x,y)\in E\}$ oraz $E^y=\{y\in Y:(x,y)\in E\}.$

Zobacz też

• diagram Cichonia
• prawo wielkich liczb
• twierdzenie o nieskończonej liczbie małp
• zbieżność prawie wszędzie/na pewno
• zbieżność według miary/prawdopodobieństwa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę