Zbieżność prawie wszędzie

Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary – rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.

Definicja

Teoria miary

Niech $(X,𝔐)$ będzie przestrzenią mierzalną oraz niech $\mu :𝔐⟶[0,\mathrm{\infty }]$ będzie miarą. Niech $(Y,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $A\in 𝔐$ oraz $f_n,f:A⟶Y.$

Mówimy, że ciąg $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f$ (względem miary $\mu$ na zbiorze $A$), jeśli istnieje zbiór mierzalny $B\subset A,\mu (B)=0$ taki, że

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)$ dla $x\in A\setminus B.$

Ciąg funkcji $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji $f,$ jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji $f$ poza zbiorem miary zero.

Teoria prawdopodobieństwa

Niech $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech $X,X_1,X_2,\dots :\mathrm{\Omega }\to ℝ$ będą zmiennymi losowymi. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do zmiennej $X,$ jeżeli

$P(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{X}_n(\omega )=X(\omega )\})=1.$

Przypadek wielowymiarowy

Niech $X,X_1,X_2,\dots :\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^s$ będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora $X,$ jeżeli

$\underset{\epsilon >0}{\bigwedge }\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}P(\bigcap _{k=n}^{\mathrm{\infty }}\{\omega \in \mathrm{\Omega }:||X_k(\omega )-X(\omega )||<\epsilon \})=1,$

gdzie $||\cdot ||:{ℝ}^s\to [0,\mathrm{\infty })$ oznacza normę euklidesową w ${ℝ}^s.$

Uwagi

• Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
• Zdanie: „ciąg $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f$”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:

$f_n\stackrel{p.w.}{\to }f$

Własności

• Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie.
• Jeśli miara $\mu$ jest skończona oraz ciąg $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest $\mu$-prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f,$ to ciąg ten jest zbieżny według miary (do tej samej funkcji). W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on zbieżny według prawdopodobieństwa.

Zobacz też

• zbieżność według miary
• zbieżność według rozkładu
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę