Przestrzeń probabilistyczna

Szablon:Spis treści Przestrzeń probabilistyczna (trójka probabilistyczna) – struktura umożliwiająca opis procesu losowego (tj. procesu, którego wynik jest losowy) poprzez określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i określenie na jej podzbiorach funkcji prawdopodobieństwa spełniającej odpowiednie aksjomaty.

Powszechnie dziś przyjmowana aksjomatyka prawdopodobieństwa (zwana aksjomatami Kołmogorowa) została podana w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa i pozwoliła ująć teorię prawdopodobieństwa w postaci nowoczesnej teorii aksjomatycznej.

Definicje

Szablon:Zobacz też Konstrukcja przestrzeni probabilistycznej $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ przebiega w trzech etapach:

1. ustalenie niepustego zbioru $\mathrm{\Omega },$ zwanego przestrzenią zdarzeń elementarnych,
2. określenie na nim σ-ciała $ℱ,$ zwanego przestrzenią zdarzeń losowych,
3. określenie na $ℱ$ unormowanej miary $P$ – miary probabilistycznej (prawdopodobieństwa).

Definicja prawdopodobieństwa

Niech $ℱ$ będzie σ-ciałem określonym na danym zbiorze $\mathrm{\Omega }.$ Elementy σ-ciała nazywa się zdarzeniami losowymi.

Funkcję $P:ℱ\to ℝ$ o wartościach rzeczywistych nazywa się miarą probabilistyczną (prawdopodobieństwem), jeżeli spełnione są warunki:

• nieujemności (tj. prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemne):

  $P(A)⩾0$ dla dowolnego zdarzenia $A\in ℱ;$

• unormowania do jedności (tj. prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1):

  $P(\mathrm{\Omega })=1(\mathrm{\Omega }\in ℱ);$

• przeliczalnej addytywności (dla przeliczalnej rodziny zbiorów parami rozłącznych):

  $P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_i),$

przy czym $A_i\cap A_j=\varnothing ,$ gdy $i\ne j.$

Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja $P$ jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną.

Definicja przestrzeni probabilistycznej

Układ $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa

Szablon:Zobacz też Niech $A_1,A_2,\dots ,A,B,A^c\in ℱ.$

Wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają następujące własności:

• prawdopodobieństwo jest miarą skończoną, tj. prawdopodobieństwa są określone liczbami skończonymi,
• prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerowe:

  $P(\varnothing )=0(\varnothing \in ℱ),$

• skończona addytywność (dla skończonej rodziny zbiorów rozłącznych):

  $P\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\sum _{i\in I}P(A_i),$ $A_i\cap A_j=\varnothing$ dla $i\ne j,$ przy czym sumowanie dotyczy skończonej liczby zbiorów,

• prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

  $P(A^{\mathrm{c}})=1-P(A),$ przy czym $A^{\mathrm{c}}$ jest zdarzeniem przeciwnym do $A,$

• ograniczenie górne prawdopodobieństwa:

  $P(A)⩽1,$

• monotoniczność:

  $P(A)⩽P(B)$ dla $A\subseteq B,$

• prawdopodobieństwo alternatywy dwóch zdarzeń (zob. zasada włączeń i wyłączeń):

  $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Definicje prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna (dla zbiorów skończonych)

$\mathrm{\Omega }$ jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że $ℱ$ jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru $\mathrm{\Omega },$ a prawdopodobieństwo $P$ dane jest wzorem

$P(A)=\frac{\mathrm{\#}A}{\mathrm{\#}\mathrm{\Omega }}$ dla każdego zbioru $A\in ℱ,$

gdzie $\mathrm{\#}A$ oznacza liczbę elementów zbioru $A.$ Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo na tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Definicja geometryczna (dla zbiorów nieskończonych)

Niech dany będzie zbiór $\mathrm{\Omega }$ oraz zadana będzie miara $\mu$ na tym zbiorze tak, że miara zbioru $\mathrm{\Omega }$ jest skończona.

Wtedy zbiór $\mathrm{\Omega }$ może pełnić rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych, zaś określone na tym zbiorze σ-ciało $ℱ$ podzbiorów mierzalnych stanowi zbiór możliwych zdarzeń elementarnych.

Definicja: Prawdopodobieństwem zdarzenia $A\in ℱ$ jest iloraz miary $\mu (A)$ podzbioru $A$ przez miarę $\mu (\mathrm{\Omega })$ przestrzeni $\mathrm{\Omega },$ tj.

$P(A)=\frac{\mu (A)}{\mu (\mathrm{\Omega })}$ dla każdego zbioru $A\in ℱ,$

Np.

• $\mathrm{\Omega }$ jest przedziałem jednostkowym

  $\mathrm{\Omega }=[0,1]$

• $ℱ$ jest σ-ciałem podzbiorów przedziału $[0,1],$ które są mierzalne w sensie Lebesgue’a, tj.

  $ℱ\equiv {𝔏}_{[0,1]},$

• $P$ jest miarą Lebesgue’a $\lambda$ określoną na $P,$ tj.

  $P\equiv \lambda ,$

Mówimy wtedy, że przestrzeń probabilistyczna $([0,1],{𝔏}_{[0,1]},\lambda )$ realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa.

Przykłady innych miar prawdopodobieństwa

1) Niech $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), zaś $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ niech będzie zmienną losową. Jeżeli $P_X$ jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową) $X,$ tj.

$P_X(A)=P(X^{-1}(A))\stackrel{=\mathrm{o}\mathrm{z}\mathrm{n}}{P}(X\in A)$ dla dowolnego $A\in {𝔅}_{ℝ},$ ${𝔅}_{ℝ}$ oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na $ℝ,$

to $P_X$ jest miarą probabilistyczną, wobec czego $(ℝ,{𝔅}_{ℝ},P_X)$ również jest przestrzenią probabilistyczną.

2) Do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.

Zobacz też

• definicje prawdopodobieństwa
• przestrzeń statystyczna

Bibliografia

• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.