Miara obrazowa

Miara obrazowa (Szablon:Ang.) – miara uzyskiwana poprzez przeniesienie pewnej miary z jednej przestrzeni mierzalnej do innej za pomocą funkcji mierzalnej.

Definicja formalna

Dla danych przestrzeni mierzalnych $(X,𝔐)$ i $(Y,𝔑),$ funkcji mierzalnej $f:X\to Y$ oraz miary $\mu :𝔐\to [0,\mathrm{\infty }]$ miarą obrazową miary $\mu$ nazywa się miarę $f_{*}(\mu ):𝔑\to [0,\mathrm{\infty }]$ daną wzorem

$(f_{*}(\mu ))(B)=\mu (f^{-1}(B))\text{ dla }B\in 𝔑.$

Definicja ta przenosi się mutatis mutandis na miary ze znakiem i zespolone.

Przykłady i zastosowania

• Za pomocą konstrukcji miary obrazowej i miary Lebesgue’a $\lambda$ na prostej rzeczywistej można zdefiniować naturalną „miarę Lebesgue’a” na okręgu jednostkowym ${\mathrm{S}}^1$ (rozważanym tutaj jako podzbiór płaszczyzny zespolonej). Niech $\ell$ oznacza zawężenie miary Lebesgue’a do przedziału $[0,2\pi ],$ zaś $f:[0,2\pi )\to {\mathrm{S}}^1$ będzie bijekcją naturalną określoną wzorem $f(t)=e^{it}.$ Wspomniana naturalna „miara Lebesgue’a” na ${\mathrm{S}}^1$ jest wtedy miarą obrazową $f_{*}(\ell ),$ która może być także nazywana „miarą długości łuku” lub „miarą kątową”, ponieważ miara $f_{*}(\ell )$ łuku jest istotnie długością łuku (lub równoważnie miarą kąta środkowego wyznaczaną przez ten łuk).
• Poprzedni przykład łatwo rozszerza się do naturalnej „miary Lebesgue’a” na $n$-wymiarowym torusie ${\mathrm{T}}^n,$ przy czym jest on przypadkiem szczególnym zagadnienia z torusem, gdyż ${\mathrm{S}}^1=T^1.$ Wspomniana miara Lebesgue’a na ${\mathrm{T}}^n$ jest, z dokładnością do normalizacji, miarą Haara na zwartej, spójnej grupie Liego ${\mathrm{T}}^n.$
• Miary gaussowskie na nieskończeniewymiarowych przestrzeniach liniowych określa się za pomocą miary obrazowej i standardowej miary Gaussa na prostej rzeczywistej: miarę borelowską $\gamma$ na ośrodkowej przestrzeni Banacha nazywa się gaussowską, jeżeli miara obrazowa $\gamma$ dowolnego niezerowego funkcjonału liniowego z ciągłej przestrzeni sprzężonej w $X$ jest miarą Gaussa na ${ℝ}^n.$
• Niech dana będzie funkcja mierzalna $f:X\to X$ oraz $n$-krotne złożenie $f:$

$f^{(n)}=\underset{n\text{ razy}}{\underbrace{f\circ f\circ \dots \circ f}}:X\to X.$

Powyższe funkcje iterowane tworzą układ dynamiczny. Badanie takich układów oznacza m.in. poszukiwanie miary $\mu$ na $X,$ której przekształcenie $f$ zachowuje, tzw. miary niezmienniczej, czyli takiej, dla której $f_{*}(\mu )=\mu .$

• Można również rozważać miary quasi-niezmiennicze dla takiego układu dynamicznego: miara $\mu$ na $X$ nazywa się quasi-niezmienniczą względem $f,$ jeżeli tylko miara obrazowa $\mu$ w $f$ jest równoważna oryginalnej mierze $\mu$ (nie musi być jej równa).