Miara niezmiennicza

Szablon:Dopracować Miara niezmiennicza – miara zachowywana przez pewną funkcję. Są one szczególnym obszarem zainteresowań w studiach nad układami dynamicznymi. Twierdzenie Kryłowa-Bogolubowa mówi o istnieniu miar niezmienniczych pod pewnymi warunkami względem danych: funkcji i przestrzeni.

Definicja

Niech $(X,𝔐)$ będzie przestrzenią mierzalną i dana będzie funkcja mierzalna $f:X\to X.$ O mierze $\mu$ określonej na $(X,𝔐)$ mówi się, że jest niezmiennicza ze względu na $f,$ jeżeli dla każdego zbioru mierzalnego $A\in 𝔐$ zachodzi

$\mu (f^{-1}(A))=\mu (A).$

Rodzinę miar (zwykle probabilistycznych, np. rozkładów prawdopodobieństwa) niezmienniczych na $X$ oznacza się czasami symbolem ${\mathrm{M}}_f(X).$ Rodzina miar ergodycznych, ${\mathrm{E}}_f(X),$ jest podzbiorem ${\mathrm{M}}_f(X).$ Co więcej, dowolna kombinacja wypukła dwóch miar niezmienniczych również jest miarą niezmienniczą, zatem ${\mathrm{M}}_f(X)$ jest zbiorem wypukłym; ${\mathrm{E}}_f(X)$ składa się dokładnie z punktów ekstremalnych ${\mathrm{M}}_f(X).$

W przypadku układu dynamicznego $(X,T,\phi ),$ gdzie $(X,𝔐)$ jest przestrzenią mierzalną jak wyżej, $T$ jest monoidem, a $\phi :T\times X\to X$ jest odwzorowaniem przepływu (operatorem rozwiązania), to $\mu$ określoną na $(X,𝔐)$ nazywa się miarą niezmienniczą, gdy jest ona niezmiennicza dla każdego odwzorowania ${\phi }_t:X\to X.$ Dokładniej, $\mu$ jest niezmiennicza wtedy i tylko wtedy, gdy

$\mu ({\phi }_t^{-1}(A))=\mu (A){\mathrm{\forall }}_{t\in T,A\in 𝔐}.$

Innymi słowy $\mu$ jest miarą niezmienniczą ciągu zmiennych losowych $(Z_t{)}_{t>0}$ (np. łańcuchem Markowa lub rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego), jeżeli zachodzi wynikanie: jeśli $\mu$ jest rozkładem warunku początkowego $Z_0,$ to jest ona też rozkładem $Z_t$ dla dowolnego późniejszego czasu $t.$

Przykłady

• Rozważmy prostą rzeczywistą $ℝ$ z jej standardowym σ-ciałem borelowskim; ustalając $a\in ℝ$ weźmy przekształcenie przesunięcia ${\mathrm{T}}_a:ℝ\to ℝ$ dane wzorem:

  ${\mathrm{T}}_a(x)=x+a.$

Wówczas jednowymiarowa miara Lebesgue’a $\lambda$ jest niezmiennicza względem ${\mathrm{T}}_a.$

• Ogólniej, w $n$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^n$ z jej standardową σ-algebrą borelowską $n$-wymiarowa miara Lebesgue’a ${\lambda }_n$ jest niezmiennicza względem dowolnej izometrii przestrzeni euklidesowej, tzn. przekształcenia $\mathrm{T}:{ℝ}^n\to {ℝ}^n,$ które może być zapisane wzorem

  $\mathrm{T}(𝐱)=𝐀𝐱+𝐛,$

gdzie $𝐀\in \mathrm{O}(n)$ jest pewną macierzą ortogonalną stopnia $n,$ a $𝐛$ wektorem z ${ℝ}^n.$

• Miara niezmiennicza z pierwszego przykładu jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do trywialnej renormalizacji o stały czynnik. Jednak nie jest to przypadek ogólny: rozważmy następujący zbiór dwuelementowy $X=\{0,1\}$ oraz przekształcenie identycznościowe $T(x)=x$ na tym zbiorze. Wówczas dowolna miara probabilistyczna $\mu :2^X\to [0,1]$ jest niezmiennicza. Zauważmy też, że $X$ ma w trywialny sposób podział na $T$-niezmiennicze składowe $\{0\}$ oraz $\{1\}.$