Macierz ortogonalna

Macierz ortogonalna – macierz kwadratowa $A\in M_n(ℝ)$ o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość:

$A^T\cdot A=A\cdot A^T=I_n,$

gdzie $I_n$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n,$ $A^T$ oznacza macierz transponowaną względem $A.$

Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolone są macierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych.

Macierze ortogonalne wymiaru Szablon:Nowrap reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Warunki równoważne ortogonalności macierzy

Niech $A\in M_n(ℝ).$ Następujące warunki są równoważne:

1. $A$ jest macierzą ortogonalną
2. kolumny macierzy $A,$ traktowane jako wektory przestrzeni ${ℝ}^n$ tworzą bazę ortonormalną
3. wiersze macierzy $A,$ traktowane jako wektory przestrzeni ${ℝ}^n$ tworzą bazę ortonormalną
4. kolumny macierzy $A,$ traktowane jako wektory przestrzeni ${ℝ}^n$ tworzą układ ortonormalny
5. wiersze macierzy $A,$ traktowane jako wektory przestrzeni ${ℝ}^n$ tworzą układ ortonormalny
6. $A^{T}A=I,$ gdzie $I$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n,$ a $A^T$ oznacza macierz transponowaną względem $A$
7. $A{A}^T=I,$ gdzie $I$ oznacza macierz jednostkową wymiaru $n,$ a $A^T$ oznacza macierz transponowaną względem $A$
8. dla każdej bazy ortonormalnej $\{v_1,\dots ,v_n\}$ przestrzeni ${ℝ}^n$ układ $\{A{v}_1,\dots ,A{v}_n\}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni ${ℝ}^n$
9. macierz A jest odwracalna i $A^{-1}=A^T,$ gdzie $A^{-1}$ oznacza macierz odwrotną do macierzy $A,$ a $A^T$ oznacza macierz transponowaną względem $A$
10. $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{a}_{kj}={\delta }_{ik},$ gdzie ${\delta }_{ik}$ jest deltą Kroneckera
11. $\sum _{j=1}^n{a}_{ji}{a}_{jk}={\delta }_{ik},$ gdzie ${\delta }_{ik}$ jest deltą Kroneckera
12. ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in {ℝ}^n}(Ax)\cdot (Ay)=x\cdot y$
13. ${\mathrm{\forall }}_{x\in {ℝ}^n}|Ax|=|x|$

Własności macierzy ortogonalnych

• Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub –1.
• Jeśli $A,B$ są macierzami ortogonalnymi tego samego rzędu, to ich iloczyn $AB$ też jest macierzą ortogonalną.
• Macierz odwrotna do macierzy $A$ jest jej macierzą transponowaną, tj. $A^{-1}=A^T.$ Macierz ta też jest ortogonalna.
• Macierz jednostkowa jest ortogonalna.

Grupy O(n) oraz SO(n)

Grupa ortogonalna stopnia n

Z własności zbioru macierzy ortogonalnych stopnia n wynika, że zbiór ten tworzy grupę z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym, grupę tę nazywa się grupą ortogonalną stopnia n i oznacza się symbolem $O(n)$ lub $O(n,ℝ)$. Grupa ta jest podgrupą ogólnej grupy liniowej $G{L}_n(ℝ)$.

Specjalna grupa ortogonalna

Specjalna grupa ortogonalna $SO(n)$ (lub grupa unimodularna $𝒮ℒ(n,ℝ)$) – to grupa macierzy ortogonalnych stopnia n, których wyznacznik jest równy jeden. Grupa ta jest podgrupą grupy ortogonalnej $O(n)$.

Przykłady

Poniżej podano przykłady macierzy ortogonalnych. Łatwo można to sprawdzić, wykonując obliczenia iloczynów skalarnych kolumn (traktowanych jako wektory), że są one wzajemnie ortogonalne; to samo dotyczy wierszy.

• Macierz jednostkowa dowolnego rzędu jest macierzą ortogonalną, np. $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

• $\left[\begin{array}{cc}0,96& -0,28\\ 0,28& 0,96\end{array}\right]$

• $\left[\begin{array}{cc}\cos x& -\sin x\\ \sin x& \cos x\end{array}\right]$

• $\left[\begin{array}{cc}\cos x& \sin x\\ \sin x& -\cos x\end{array}\right]$

• $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$

• $\left[\begin{array}{ccccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& \ddots & & & & & & & & & \\ 0& & 1& & & & & & & & \\ 0& & & -1& & & & & & & \\ 0& & & & \ddots & & & & & & \\ 0& & & & & -1& & & & & \\ 0& & & & & & \cos ({\xi }_1)& -\sin ({\xi }_1)& & & \\ 0& & & & & & \sin ({\xi }_1)& \cos ({\xi }_1)& & & \\ 0& & & & & & & & \ddots & & \\ 0& & & & & & & & & \cos ({\xi }_k)& -\sin ({\xi }_k)\\ 0& & & & & & & & & \sin ({\xi }_k)& \cos ({\xi }_k)\end{array}\right]$

Zobacz też

• macierz odwrotna
• macierz unitarna

Inne:

• macierz obrotu
• grupa obrotów

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.
• J. Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
• A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.
• A. Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, Szablon:ISBN.
• T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2012.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld