Macierz transponowana

Macierz transponowana, macierz przestawiona macierzy $A$ – macierz $A^{\mathrm{T}},$ która powstaje z danej macierzy (w ogólności prostokątnej, w szczególności jednowierszowej czy o jednej kolumnie) poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywa się transpozycją (przestawianiem).

Jeżeli macierz $A$ ma wyrazy $a_{ij}$ (element $a_{ij}$ macierzy znajdujący się na przecięciu $i$-tego wiersza i $j$-tej kolumny), a macierz transponowana $A^{\mathrm{T}}$ ma wyrazy $a_{ij}^{\mathrm{T}},$ to zachodzi związek

$a_{ij}^{\mathrm{T}}=a_{ji}.$

Przykład

(1) Transponować można macierz w ogólności prostokątną, np. gdy

$A=\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 1& 4\\ -1& 2& 0& 1\\ 2& 2& 0& 1\end{array}\right]$

to macierz transponowana ma postać:

$A^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 3& 2& 2\\ 1& 0& 0\\ 4& 1& 1\end{array}\right].$

(2) W szczególności wektor kolumnowy przechodzi w wektor wierszowy, np. gdy

$A=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\end{array}\right],$

to

$A^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}2,1,5\end{array}\right].$

Transpozycja macierzy symetrycznej

Macierz symetryczna – macierz ta ma identyczne wyrazy leżące symetrycznie względem swojej przekątnej głównej, np.

$\left[\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 6& 7\\ 3& 7& 9\end{array}\right].$

Transpozycja macierzy symetrycznej jest równa tej macierzy, tj.

$A^{\mathrm{T}}=A.$

Własności operacji transponowania

Tw. 1. Niech $A,B\in M_{n\times m}(K),$ wówczas:

• $(A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=A$,
• $(\alpha A{)}^{\mathrm{T}}=\alpha A^{\mathrm{T}},\alpha \in K,$
• $(A+B{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}.$

Tw. 2. Jeśli $A\in M_{n\times m}(K),B\in M_{m\times o}(K),$ to:

• $(AB{)}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}.$

Tw. 3. Dla macierzy kwadratowej: Transpozycja nie zmienia wyznacznika ani śladu macierzy, tj.

• $\det A^{\mathrm{T}}=\det A,$
• $\mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}})=\mathrm{tr}(A).$

Zobacz też

• macierz hermitowska
• macierz symetryczna
• macierz unitarna
• sprzężenie hermitowskie macierzy

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.

Linki zewnętrzne

Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-22]:

• Transponowanie macierzy, 29 kwietnia 2021.
• Transpozycja iloczynu macierzy, 30 kwietnia 2021.
• Transpozycja sumy macierzy. Transpozycja macierzy odwrotnej, 12 maja 2021.
• Rząd macierzy transponowanej równa się rzędowi macierzy, 3 października 2021.