Macierz symetryczna

Macierz symetryczna – macierz kwadratowa (tzn. o tej samej liczbie wierszy i kolumn), której wyrazy położone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe; formalnie jest to macierz kwadratowa $𝐀=[a_{ij}]$ stopnia $n,$ która dla $i,j=1,\dots ,n$ spełnia warunek

$a_{ij}=a_{ji},$

który można zapisać krótko przy pomocy transpozycji jako

${𝐀}^{\mathrm{T}}=𝐀.$

Własności

• Kombinacja liniowa macierzy symetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy symetrycznej są macierzami symetrycznymi; iloczyn macierzy symetrycznych na ogół nie jest symetryczny.
• Dla dowolnej macierzy $𝐀$ macierz ${𝐀𝐀}^{\mathrm{T}}$ jest symetryczna, bowiem ${\left({𝐀𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}=\mathbf{(}{𝐀}^{𝐓}{\mathbf{)}}^{𝐓}{𝐀}^{\mathrm{T}}={𝐀𝐀}^{\mathrm{T}}.$
• Dla macierzy $𝐀$ macierz $𝐀+{𝐀}^{\mathrm{T}}$ jest symetryczna, bowiem ${\left({𝐀\mathbf{+}𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}={𝐀}^{\mathrm{T}}+\mathbf{(}{𝐀}^{𝐓}{\mathbf{)}}^{\mathrm{T}}={𝐀\mathbf{+}𝐀}^{\mathrm{T}}.$
• Przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia $n$ rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli $𝐀$ jest dowolną macierzą kwadratową stopnia $n,$ to

  $𝐀=\frac{1}{2}(𝐀+{𝐀}^{\mathrm{T}})+\frac{1}{2}(𝐀-{𝐀}^{\mathrm{T}}),$

przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną.

• Wszystkie wartości własne symetrycznej macierzy rzeczywistej są rzeczywiste.

Przykłady

Poniższe macierze są symetryczne:

$\left[\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 6& 7\\ 3& 7& 9\end{array}\right].$

Zobacz też

• forma dwuliniowa
• macierz antysymetryczna
• macierz hermitowska

Bibliografia

• Szablon:Cytuj