Suma prosta przestrzeni liniowych

Suma prosta przestrzeni liniowych – przestrzeń liniowa $V$ powstała poprzez pewnego rodzaju sumowanie przestrzeni liniowych $(V_{i})_{i \in I} :$

V = ⨁_{i \in I} V_{i} .

To jakiego rodzaju jest to sumowanie zależy od kontekstu. W przypadku gdy $I = {1, 2, \dots, n}$ piszemy również

V = V_{1} \oplus \dots \oplus V_{n} .

Przykładowo $ℝ^{n}$ może być uważane za sumę prostą

ℝ^{n} = ℝ \oplus \dots \oplus ℝ

n kopii $ℝ .$

Suma prosta to z jednej strony narzędzie analizowania przestrzeni liniowych, a z drugiej strony – bardzo wygodny sposób konstruowania nowych przestrzeni liniowych.

Zewnętrzna suma prosta

Definicja

Szablon:Zobacz też Niech $I$ będzie dowolnym zbiorem. Załóżmy, że mamy daną rodzinę przestrzeni liniowych $(V_{i})_{i \in I}$ nad tym samym ciałem $K .$ Rozpatrzmy funkcje postaci

f : I \to ⋃_{i \in I} V_{i}

takie, że $f (i) \in V_{i} .$ Nośnikiem $f$ nazwiemy zbiór

s u p p f : = {i \in I; f (i) \neq 0} .

Zbiór funkcji tej postaci o skończonym nośniku nazywamy (zewnętrzną) sumą prostą przestrzeni liniowych $V_{i}, i \in I$ i oznaczamy

⨁_{i \in I} V_{i} l u b ⨆_{i \in I} V_{i} .

Uwagi do definicji

(1) Elementy zbioru $I$ interpretujemy jako indeksy.

(2) Gdy $I = ℕ$ to elementami $⨁_{i \in ℕ} V_{i}$ są nieskończone ciągi postaci

(v_{1}, v_{2}, v_{3}, \dots),

gdzie $v_{i} \in V_{i},$ które mają jednakowoż skończoną liczbę niezerowych wyrazów.

(3) Gdy $I = {1, 2, \dots, n}$ to elementami $⨁_{i \in I} V_{i}$ są skończone ciągi postaci

(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}) .

Piszemy wówczas także

V_{1} \oplus \dots \oplus V_{n} = ⨁_{i \in I} V_{i} .

(4) (Zewnętrzna) suma prosta to bardzo wygodny sposób konstruowania nowych przestrzeni liniowych (patrz: Struktura przestrzeni liniowej).

Struktura przestrzeni liniowej

W (zewnętrznej) sumie prostej $⨁_{i \in I} V_{i}$ możemy wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej definiując działania punktowo

(f + g) (i) : = f (i) + g (i)

(α f) (i) : = α f (i)

dla $f, g \in ⨁_{i \in I} V_{i}, α \in K .$

Gdy elementy $⨁_{i \in I} V_{i}$ są ciągami (skończonymi lub nie) to sprowadza się to do dodawania wyrazów ciągów:

(v_{1}, v_{2}, \dots) + (w_{1}, w_{2}, \dots) = (v_{1} + w_{1}, v_{2} + w_{2}, \dots)

i do mnożenia ich przez skalar:

α (v_{1}, v_{2}, \dots) = (α v_{1}, α v_{2}, \dots) .

Wewnętrzna suma prosta

Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową. Jeżeli $V_{1}, V_{2}, \dots, V_{k}$ są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni $V$ takimi, że każdy wektor $v \in V$ można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy

v = v_{1} + v_{2} + \dots + v_{k}

gdzie $v_{i} \in V_{i}$ to mówimy, że $V$ jest (wewnętrzną) sumą prostą podprzestrzeni liniowych $V_{1}, \dots, V_{k}$ i piszemy

V = V_{1} \oplus \dots \oplus V_{k}

^[1].

Uwagi

(1) Podział danej przestrzeni na sumy proste pozwala klasyfikować jej elementy – jeżeli dany wektor należy do podprzestrzeni $V_{i},$ to wyraża się całkowicie za pomocą wektorów bazy tej podprzestrzeni.

(2) Podział przestrzeni na podprzestrzenie tworzące sumę prostą przestrzeni nie jest unikalny – istnieje zazwyczaj wiele możliwych podziałów przestrzeni liniowej na sumy proste.

Izomorfizm zewnętrznej i wewnętrznej sumy prostej

Załóżmy, że przestrzeń liniowa $V$ nad ciałem $K$ jest przedstawiona w postaci wewnętrznej sumy prostej

V = V_{1} \oplus_{i} \dots \oplus_{i} V_{n} .

Utwórzmy zewnętrzną sumę prostą podprzestrzeni $V_{1}, \dots, V_{n} :$

V_{1} \oplus_{e} \dots \oplus_{e} V_{n} .

$V$ i $V_{1} \oplus_{e} \dots \oplus_{e} V_{n}$ są izomorficzne. Oznacza to, że zewnętrzna i wewnętrzna suma prosta są w istocie tym samym i pozwala mówić po prostu o sumie prostej.

Dowód. Zdefiniujmy homomorfizm $φ : V_{1} \oplus_{e} \dots \oplus_{e} V_{n} \to V .$ Homomorfizm przestrzeni liniowych $U$ i $W$ nad ciałem $K$ to funkcja $ϕ : U \to W$ taka, że

ϕ (α u_{1} + β u_{2}) = α ϕ (u_{1}) + β ϕ (u_{2})

dla dowolnych $u_{1}, u_{2} \in U, α, β \in K .$ Zdefiniujmy $φ$ wzorem

φ (v_{1}, \dots, v_{n}) : = v_{1} + \dots + v_{n} .

Mamy

φ (α x + β y) = α φ (x) + β φ (y)

dla dowolnych $x, y \in V_{1} \oplus_{e} \dots \oplus_{e} V_{n}, α, β \in K,$ a zatem $φ$ jest homomorfizmem.

Zdefiniujmy funkcję $ψ : V \to V_{1} \oplus_{e} \dots \oplus_{e} V_{n}$ wzorem

ψ (v) = ψ (v_{1} + \dots + v_{n}) : = (v_{1}, \dots, v_{n}),

gdzie $v_{1} + \dots + v_{n}$ to z definicji wewnętrznej sumy prostej jedyne takie przedstawienie wektora $v,$ że $v_{i} \in V_{i} .$ Dla $u = u_{1} + \dots + u_{n}$ i $v = v_{1} + \dots + v_{n}$ utwórzmy sumę $α u + β v .$ Z definicji wewnętrznej sumy prostej istnieje tylko jedno przedstawienie

α u + β v = w_{1} + \dots + w_{n}

takie, że $w_{i} \in V_{i} .$

α u + β v = (α u_{1} + β v_{1}) + \dots + (α u_{n} + β v_{n})

jest takim przedstawieniem, a zatem jest jedyne. Wynika z tego, że

ψ (α u + β v) = ψ ((α u_{1} + β v_{1}) + \dots + (α u_{n} + β v_{n})) = (α u_{1} + β v_{1}, \dots, α u_{n} + β v_{n}) = α ψ (u) + β ψ (v) .

A zatem $ψ : V \to V_{1} \oplus_{e} \dots \oplus_{e} V_{n}$ jest homomorfizmem.

Złożenia $φ$ i $ψ$ są funkcjami identycznościowymi:

(φ \circ ψ) (v) = v, (ψ \circ φ) (u) = u

dla $v \in V$ i $u \in V_{1} \oplus_{e} \dots \oplus_{e} V_{n} .$ Oznacza to z definicji funkcji odwrotnej, że $φ$ i $ψ$ są funkcjami wzajemnie odwrotnymi

ψ = φ^{- 1},

a zatem $φ$ jest izomorfizmem $V = V_{1} \oplus_{i} \dots \oplus_{i} V_{n}$ i $V_{1} \oplus_{e} \dots \oplus_{e} V_{n} . ◼$

Twierdzenie o rozkładzie na sumę prostą

Jeżeli $V_{1}$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $V$ to zawsze istnieje taka podprzestrzeń $V_{2},$ że

V = V_{1} \oplus V_{2} .

W algebrze liniowej, podprzestrzenie $V_{1}$ i $V_{2}$ nazywane są podprzestrzeniami (wzajemnie) komplementarnymi.

Przykłady

Przykład 1: Suma prosta w przestrzeni funkcji

Niech $V$ oznacza przestrzeń liniową wszystkich funkcji rzeczywistych określonych w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech $V_{n}, V_{p}$ będą zdefiniowane jako:

$V_{n}$ – przestrzeń liniowa funkcji nieparzystych,
$V_{p}$ – przestrzeń liniowa funkcji parzystych.

Dowolną funkcje $f$ można przedstawić jako sumę $f (x) = \frac{f (x) + f (- x)}{2} + \frac{f (x) - f (- x)}{2},$

gdzie pierwszy składnik jest funkcją parzystą, drugi zaś nieparzystą. Rozkład ten jest jednoznaczny.

Dowód (niewprost)

Załóżmy, że daną funkcje daje się rozłożyć na dwa sposoby na sumę funkcji parzystej i nieparzystej. Czyli mamy:

f = p_{1} + n_{1} = p_{2} + n_{2}

lub równoważnie

n_{1} - n_{2} = p_{2} - p_{1} .

Prawa strona jest funkcją parzystą (różnica parzystych jest parzysta) zaś lewa – nieparzystą. Jedyną funkcją która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta jest funkcja stale równa zero. Oznacza to że

p_{1} = p_{2}

oraz

n_{1} = n_{2},

co prowadzi nas do sprzeczności z przyjętym założeniem, cdn.

Ponieważ każdą funkcję można jednoznacznie przedstawić za pomocą sumy funkcji parzystej i nieparzystej, to oznacza że przestrzeń funkcji można przedstawić jako sumę prostą funkcji parzystych i nieparzystych:

V = V_{p} \oplus V_{n} .

Przykład 2: Suma prosta w przestrzeni macierzy kwadratowych

W przestrzeni liniowej $V$ macierzy $n \times n$ każdą macierz można przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej, tzn.

A = A^{s y m} + A^{a n t y s y m},

gdzie:

A^{T}

– macierz transponowana macierzy

A,

A^{s y m} = \frac{1}{2} (A + A^{T})

– macierz symetryczna,

A^{a n t y s y m} = \frac{1}{2} (A - A^{T})

– macierz antysymetryczna.

Macierze symetryczne tworzą podprzestrzeń $V^{s y m}$ przestrzeni liniowej $V$ macierzy, gdyż:

a) suma macierzy symetrycznych jest macierzą symetryczną,

b) iloczyn macierzy symetrycznej przez skalar daje macierz symetryczną.

Podobnie, macierze antysymetryczne tworzą podprzestrzeń $V^{a n t y s y m}$ przestrzeni $V .$

Ponieważ każdą macierz przestrzeni $V$ da się jednoznacznie rozłożyć na macierz symetryczną i antysymetryczną, to całą przestrzeń można przedstawić jako sumę prostą

V = V^{s y m} \oplus V^{a n t y s y m} .

Np. dla macierzy

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{matrix}]

macierz transponowana, symetryczna i antysymetryczna mają postacie

A^{T} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 4 & 6 & 8 \end{matrix}],

A^{s y m} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 8 \end{matrix}],

A^{a n t y s y m} = [\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & 3 \\ - 2 & - 3 & 0 \end{matrix}] .

Przykład 3: Suma prosta w przestrzeni tensorowej

Przestrzeń liniowa utworzona z tensorów II rzędu (tzw. przestrzeń tensorowa) może być przedstawiona jako suma prosta przestrzeni tensorowej tensorów symetrycznych i przestrzeni tensorowej tensorów antysymetrycznych. Np. w reprezentacji macierzowej dowolny tensor II rzędu jest reprezentowany przez macierz $n \times n,$ gdzie $n$ – wymiar przestrzeni liniowej, na której określono pole tensorowe. Macierz tę można zawsze przedstawić jako sumę macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.

Przykład 4: Przestrzeń wektorowa n-wymiarowa

Niech $V$ oznacza przestrzeń wektorową $3$ -wymiarową (ogólnie: $n$ -wymiarową). W przestrzeni tej można wprowadzić podział na sumy proste następująco:

wybiera się bazę przestrzeni $V$ (możliwych baz jest nieskończenie wiele),
zbiór wektorów $B = {e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ bazy dzieli się na rozłączne podzbiory; np. dla zbioru $3$ -elementowego mamy możliwe podziały bazy:
$P_{1} = {{e_{1}}, {e_{2}, e_{3}}},$

$P_{2} = {{e_{2}}, {e_{3}, e_{1}}},$

$P_{3} = {{e_{3}}, {e_{1}, e_{2}}},$

$P_{4} = {{e_{1}}, {e_{2}}, {e_{2}}} .$

Każdy z podziałów bazy na podzbiory wyznacza jeden z możliwych sposobów podziału przestrzeni $V$ na sumę prostą podprzestrzeni – bazami tych podprzestrzeni są poszczególne podzbiory bazy w danym podziale. W podanym przykładzie mielibyśmy 4 możliwe podziały na sumy proste, których bazami byłyby podane wyżej podzbiory bazy $B = {e_{1}, e_{2}, e_{3}} :$

V = V_{1} \oplus V_{23},

V = V_{2} \oplus V_{31},

V = V_{3} \oplus V_{12},

V = V_{1} \oplus V_{2} \oplus V_{3} .

Dla przestrzeni $n$ -wymiarowej – przy dużej wartości $n$ – możliwych podziałów byłoby bardzo dużo.

Suma prosta w analizie funkcjonalnej

Szablon:Osobny artykuł W analizie funkcjonalnej, suma prosta podprzestrzeni $V_{1}$ i $V_{2}$ danej przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ oznacza sumę prostą

X = V_{1} \oplus V_{2} .

przy założeniu, że $V_{1}$ i $V_{2}$ są domknięte (czasami dla odróżnienia, mówi się o topologicznej sumie prostej). Jeśli $V_{1}$ jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ (np. przestrzeni Banacha $X$ ), to na ogół, nie istnieje komplementarna do niej podprzestrzeń $V_{2}$ (tutaj definicję komplementarności zawęża się o wymaganie domkniętości obu podprzestrzeni). W przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią Hilberta, to twierdzenie o rzucie ortogonalnym gwarantuje, że dla każdej jej domkniętej podprzestrzeni $V_{1}$ jej dopełnienie ortogonalne $V_{1}^{⊥}$ stanowi rozkład na (topologiczną) sumę prostą, tzn.

X = V_{1} \oplus V_{1}^{⊥} .

Własność ta (tzn. własność istnienia podprzestrzeni komplementarnej do każdej domkniętej podprzestrzeni) charakteryzuje przestrzenie Hilberta w klasie przestrzeni Banacha.

Suma prosta odwzorowań

Dla pary odwzorowań między przestrzeniami liniowymi $V_{i}$ i $W_{i},$ $i = 1, 2$

φ_{1} : V_{1} \to W_{1},

φ_{2} : V_{2} \to W_{2},

definiuje się ich sumę prostą

φ_{1} \oplus φ_{2} : V_{1} \oplus V_{2} \to W_{1} \oplus W_{2}

wzorem

(φ_{1} \oplus φ_{2}) (v_{1}, v_{2}) = (φ_{1} (v_{1}), φ_{2} (v_{2})) .

Analogicznie definiuje się sumę prostą dowolnej liczby odwzorowań: Jeżeli $V_{i}, W_{i}$ są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem oraz

φ_{i} : V_{i} \to W_{i}, i \in I,

to wzór

(⨁_{i \in I} φ_{i}) ((x_{i})_{i \in I}) = (φ (x_{i}))_{i \in I}, (x_{i})_{i \in I} \in ⨁_{i \in I} V_{i}

definiuje przekształcenie

⨁_{i \in I} φ_{i} : ⨁_{i \in I} V_{i} \to ⨁_{i \in I} W_{i}

nazywane sumą prostą rodziny odwzorowań $(φ_{i})_{i \in I} .$

Suma prosta przestrzeni Banacha

Jeżeli ${X_{i} : i \in I}$ jest rodziną przestrzeń Banacha, to w (algebraicznej) sumie prostej

⨁_{i \in I} X_{i} .

nie da się w naturalny sposób zdefiniować normy, która byłaby w istotny sposób związana z normami poszczególnych przestrzeni $X_{i},$ a uzyskana przestrzeń unormowana byłaby zupełna (poza szczególnym przypadkiem, gdy zbiór $I$ jest skończony). W sytuacji ogólnej musimy rozpatrywać uzupełnienie algebraicznej sumy prostej – jest to procedura którą intuicyjnie można opisać jako dołożenie do niej granic ciągów Cauchy’ego. Na algebraicznej sumie prostej można zadać wiele nierównoważnych norm – prowadzi to powstania wielu różnych sposobów określania sumy prostej.

c₀-suma przestrzeni Banacha

Jeżeli ${(X_{n}, ‖ \cdot ‖_{n}) : n \in ℕ}$ jest (przeliczalną) rodziną przestrzeni Banacha, to podprzestrzeń

X \subseteq \prod_{n \in ℕ} X_{n}

tych ciągów $(x_{n})_{n},$ dla których

\lim_{n \to \infty} ‖ x_{n} ‖_{n} = 0

jest przestrzenią Banacha z normą

‖ (x_{n})_{n} ‖ = \sup {‖ x_{n} ‖_{n} : n \in ℕ} .

Podprzestrzeń $X$ nazywana jest czasem $c_{0}$ sumą rozważanej wyżej rodziny przestrzeni Banacha i oznaczana jest symbolem

X = {(⨁_{n \in ℕ} X_{n})}_{c_{0}} .

Analogicznie definiuje się sumy typu $c_{0} (I),$ gdzie $I$ jest dowolnym, nieprzeliczalnym zbiorem indeksów.

l^p-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta

Jeżeli ${(X_{i}, ‖ \cdot ‖_{i}) : i \in I}$ jest rodziną przestrzeni Banacha oraz $1 ⩽ p < \infty,$ to podprzestrzeń

X \subseteq \prod_{i \in I} X_{i}

złożona z tych elementów $(x_{i})_{i}$ dla których co najwyżej przeliczalnie wiele wyrazów $x_{i}$ jest niezerowych oraz szereg

\sum_{i \in I} ‖ x_{i} ‖_{i}^{p},

jest zbieżny, jest przestrzenią Banacha z normą

‖ (x_{i})_{i} ‖_{p} = {(\sum_{i \in I} ‖ x_{i} ‖_{i}^{p})}^{\frac{1}{p}} .

Przestrzeń $X$ nazywana jest $ℓ^{p}$ -sumą rodziny ${X_{i} : i \in I}$ i oznaczana symbolem

X = {(⨁_{i \in I} X_{i})}_{ℓ^{p}} .

Jeżeli $p$ i $q$ są dowolnymi liczbami z przedziału $[1, \infty),$ to normy w $ℓ^{p}$ – i $ℓ^{q}$ -sumie skończenie wielu przestrzeni Banacha są równoważne.

W przypadku, gdy wszystkie przestrzenie $X_{i}$ są przestrzeniami Hilberta, to ich $ℓ^{2}$ -suma jest również przestrzenią Hilberta. W teorii przestrzeni Hilberta, przestrzeń ta nazywana jest po prostu suma prostą przestrzeni Hilberta (dolny indeks $ℓ^{2}$ w oznaczeniu najczęściej pomija się). Iloczyn skalarny elementów $(x_{i})_{i}$ i $(y_{i})_{i}$ w sumie prostej spełnia warunek

⟨ (x_{i})_{i}, (y_{i})_{i} ⟩ = \sum_{i \in I} ⟨ x_{i}, y_{i} ⟩_{i} .

Pojęcie $ℓ^{p}$ -sumy skończenie wielu przestrzeni Banacha pochodzi od Banacha^[2]. Przypadek przeliczalnie wielu przestrzeni Banacha rozważał Day^[3], natomiast przypadek ogólny został zdefiniowany przez Kakutaniego^[4].

Suma prosta operatorów ograniczonych

Jeżeli $(T_{i})_{i \in I}$ jest rodziną operatorów jednakowo ograniczonych między przestrzeniami Banacha, odpowiednio, $X_{i}$ i $Y_{i},$ tj.

\sup_{i \in I} ‖ T_{i} ‖ < \infty,

to dla ustalonego $p ⩾ 1$ definiuje się analogicznie jak w przypadku ogólnych przestrzeni liniowych $ℓ^{p}$ -sumę rodziny $(T_{i})_{i \in I},$ tj. operator

{(⨁_{i \in I} T_{i})}_{ℓ^{p}} : {(⨁_{i \in I} X_{i})}_{ℓ^{p}} \to {(⨁_{i \in I} Y_{i})}_{ℓ^{p}},

zastępując pojęcie sumy prostej pojęciem $ℓ^{p}$ -sumy. W szczególności, $ℓ^{p}$ -suma operatorów ograniczonych jest operatorem ograniczonym oraz

‖ {(⨁_{i \in I} T_{i})}_{ℓ^{p}} ‖ = \sup {‖ T_{i} ‖ : i \in I} .

Jeżeli $X_{i}, Y_{i}$ są przestrzeniami Hilberta, to $ℓ^{2}$ -sumę operatorów $T_{i}$ nazywa się sumą prostą operatorów na przestrzeniach Hilberta.

Zobacz też

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

[https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~lundholm/clifford.pdf Clifford algebra, geometric algebra,

and applications]

Szablon:Kontrola autorytatywna

↑ Szablon:Cytuj
↑ Szablon:Cytuj książkę Zbl 0005.20901.
↑ Mahlon M. Day. Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces, Bulletin of the American Mathematical Society 47, s. 313–317.
↑ Shizuo Kakutani, Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42, s. 523–537.

[1] Szablon:Cytuj

[2] Szablon:Cytuj książkę Zbl 0005.20901.

[3] Mahlon M. Day. Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces, Bulletin of the American Mathematical Society 47, s. 313–317.

[4] Shizuo Kakutani, Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42, s. 523–537.

[1]

[2]

[3]

[4]

Suma prosta przestrzeni liniowych

Spis treści

Zewnętrzna suma prosta

Definicja

Uwagi do definicji

Struktura przestrzeni liniowej

Wewnętrzna suma prosta

Definicja

Uwagi

Izomorfizm zewnętrznej i wewnętrznej sumy prostej

Twierdzenie o rozkładzie na sumę prostą

Przykłady

Przykład 1: Suma prosta w przestrzeni funkcji

Przykład 2: Suma prosta w przestrzeni macierzy kwadratowych

Przykład 3: Suma prosta w przestrzeni tensorowej

Przykład 4: Przestrzeń wektorowa n-wymiarowa

Suma prosta w analizie funkcjonalnej

Suma prosta odwzorowań

Suma prosta przestrzeni Banacha

c₀-suma przestrzeni Banacha

l^p-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta

Suma prosta operatorów ograniczonych

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Suma prosta przestrzeni liniowych

Zewnętrzna suma prosta

Definicja

Uwagi do definicji

Struktura przestrzeni liniowej

Wewnętrzna suma prosta

Definicja

Uwagi

Izomorfizm zewnętrznej i wewnętrznej sumy prostej

Twierdzenie o rozkładzie na sumę prostą

Przykłady

Przykład 1: Suma prosta w przestrzeni funkcji

Przykład 2: Suma prosta w przestrzeni macierzy kwadratowych

Przykład 3: Suma prosta w przestrzeni tensorowej

Przykład 4: Przestrzeń wektorowa n-wymiarowa

Suma prosta w analizie funkcjonalnej

Suma prosta odwzorowań

Suma prosta przestrzeni Banacha

c0-suma przestrzeni Banacha

lp-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta

Suma prosta operatorów ograniczonych

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Szukaj

c₀-suma przestrzeni Banacha

l^p-suma przestrzeni Banacha. Suma prosta przestrzeni Hilberta