Moduł wolny generowany przez zbiór

R-moduł wolny generowany przez zbiór $X$ albo suma prosta R nad X – zbiór funkcji $f:X\to R$ w pierścień $R,$ które przyjmują niezerową wartość tylko dla skończonej liczby swoich argumentów. Oznacza się go zwykle $\underset{X}{⨁}R,$ $\underset{X}{⨆}R$ lub $F(X).$ Wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo tworzy moduł nad $R.$

Definicja

Niech $R$ będzie pierścieniem, a $X$ – dowolnym zbiorem. Rozpatrzmy funkcje postaci $f:X\to R.$ Nośnikiem $f$ nazwiemy zbiór

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}f:=\{x\in X;f(x)\ne 0\}.$

Zbiór funkcji $f:X\to R$ o skończonym nośniku nazywamy $R$-modułem wolnym generowanym przez $X$ albo sumą prostą $R$ nad $X$ i oznaczamy $\underset{X}{⨁}R,$ $\underset{X}{⨆}R$ lub $F(X).$ Zbiór $\underset{X}{⨁}R$ tworzy moduł nad $R$ z działaniami zdefiniowanymi punktowo.

Baza i przedstawienie

Dowolną funkcję $f\in \underset{X}{⨁}R$ możemy jednoznacznie przedstawić w postaci

$f(y)=\sum _{x\in X}f(x){\delta }_x(y)$

dla każdego $y\in X,$ gdzie ${\delta }_x:X\to R$ jest zdefiniowane wzorem

${\delta }_x(y):=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}y=x\\ 0& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}y\ne x.\end{array}$

Wynika z tego, że funkcje ${\delta }_x$ rozpinają moduł $\underset{X}{⨁}R.$ Funkcje ${\delta }_x$ bardzo często utożsamia się z $x$ i zapisuje po prostu jako $x.$ Wówczas funkcję $f$ można zapisać jako

$f=\sum _{x\in X}f(x)x\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{b}f=\sum _{x\in X}{f}_{x}x.$

Zobacz też

• iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Clifford algebra, geometric algebra, and applications