Twierdzenie o rzucie ortogonalnym

Szablon:Inne znaczenia Twierdzenie o rzucie ortogonalnym – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni liniowej przestrzeni Hilberta istnieje ortogonalna podprzestrzeń komplementarna do wybranej. Ma ono szereg zastosowań nie tylko w analizie funkcjonalnej (np. dowód twierdzenia Riesza), ale również m.in. w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta, zaś $C\subseteq H$ będzie jej domkniętą podprzestrzenią liniową; wówczas

$H=C\oplus C^{\perp },$

gdzie $\oplus$ oznacza (wewnętrzną) sumę prostą, a $C^{\perp }$ to dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni $C.$

Dowód

Szablon:Zobacz też Ponieważ $C$ jest niepusta i wypukła jako podprzestrzeń liniowa $H$ oraz zupełna jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnej, to spełnione są założenia twierdzenia o zbiorze wypukłym, które dla dowolnego elementu $h\in H$ gwarantuje istnienie jedynego elementu $a\in C,$ który leży najbliżej $h.$ Wówczas:

$h=c+(h-c).$

Z kolei poniższy lemat zapewnia, że element $(h-c)\perp C,$ tj. $h-c\in C^{\perp },$ a co za tym idzie $H=C+C^{\perp }$ (przestrzeń $H$ jest generowana przez $C,C^{\perp }$); ponadto jeżeli $x\in C\cap C^{\perp },$ to $x\perp x,$ co zachodzi tylko dla $x=0$, a zatem $C\cap C^{\perp }=\{0\};$ stąd też $H=C\oplus C^{\perp }$ jest ortogonalną sumą prostą podprzestrzeni $C$ i jej dopełnienia ortogonalnego $C^{\perp }.$

Element $c$ nazywany też bywa elementem najlepiej aproksymującym $h$ ew. rzutem $h$ na $C$ i oznaczany bywa $P_C(h)$ ew. ${\mathrm{\Pi }}_C(h).$

LematSzablon:Anchor

Niech $X$ będzie przestrzenią unitarną z normą $\Vert \cdot \Vert$ indukowaną z iloczynu skalarnego $⟨\cdot ,\cdot ⟩,$ zaś $Y$ będzie zupełną podprzestrzenią liniową w $X.$ Wówczas $a$ jest rzutem $x$ na $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\in Y$ oraz $(x-a)\perp Y$.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę