Twierdzenie o zbiorze wypukłym

Szablon:Spis treści Twierdzenie o zbiorze wypukłym – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że każdy niepusty zbiór domknięty i wypukły w przestrzeni Hilberta zawiera jeden i tylko jeden element o najmniejszej normie.

Wynik ten znajduje zastosowanie m.in. w dowodzie twierdzenia o rzucie ortogonalnym mającym swoje implikacje np. w rachunku prawdopodobieństwa (wykorzystywanym w jednym z dowodów istnienia warunkowej wartości oczekiwanej). Twierdzenie o zbiorze wypukłym lub, równoważnie, wynikające z niego twierdzenie najlepszej aproksymacji daje stosunkowo krótki dowód twierdzenia Brouwera o punkcie stałym dla dowolnego przekształcenia zwartego zbioru wypukłego $C\subseteq {ℝ}^n$ w siebieSzablon:Doprecyzuj ($n$-wymiarowa przestrzeń euklidesowa jest przestrzenią Hilberta).

Dowód

Niech $C$ będzie niepustym, domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta $H,$ zaś $d=\underset{c\in C}{\inf }\Vert c\Vert$ oznacza infimum norm elementów tego zbioru.

Jednoznaczność

Niech $x,y\in C$ będą dwoma elementami, które spełniają $\Vert x\Vert =\Vert y\Vert =d;$ z (zachodzącej w $H$) reguły równoległoboku zastosowanej do $\frac{x}{2},\frac{y}{2}$ wynika, że

$\frac{1}{4}\Vert x-y{\Vert }^2=\frac{1}{2}\Vert x{\Vert }^2+\frac{1}{2}\Vert y{\Vert }^2-\Vert \frac{1}{2}(x+y){\Vert }^2,$

a ponieważ $C$ jest wypukły, to $\frac{1}{2}(x+y)\in C,$ czyli

$\Vert x-y{\Vert }^2⩽2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2-4d^2,$

co oznacza, iż $x=y,$ gdyż prawa strona jest równa zeru.

Istnienie

Z definicji $d$ istnieje ciąg $(y_n)$ spełniający $\Vert y_n\Vert \to d;$ z powyższej nierówności wynika inna,

$\Vert y_n-y_m{\Vert }^2⩽2\Vert y_n{\Vert }^2+2\Vert y_m{\Vert }^2-4d^2,$

która pociąga za sobą warunek Cauchy’ego dla ciągu $(y_n),$ a z zupełności $H$ jest $y_n\to y_0$ dla pewnego elementu $y_0,$ który należy do zbioru $C$ na mocy jego domkniętości (i niepustości); jest on poszukiwanym elementem o minimalnej normie, ponieważ $\Vert y_n\Vert \to \Vert y_0\Vert .$

Aproksymacja i rzut

Szablon:Anchor Powyższe twierdzenie można sformułować w nieco inny sposób uzyskując

Twierdzenie o najlepszej aproksymacjiSzablon:Anchor

Dla każdego $h\in H$ istnieje jeden i tylko jeden element $a\in C,$ dla którego zachodzi

$\Vert h-a\Vert ={\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}}_{C}h,$

gdzie ${\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}}_{C}h=\underset{c\in C}{\inf }\Vert h-c\Vert$ oznacza odległość elementu $h$ od zbioru $C.$

Element $a$ nazywa się elementem najlepszej aproksymacji dla $h$ (tzn. najlepiej przybliżającym $h$ w sensie odległości). W twierdzeniu o zbiorze wypukłym aproksymowany jest w istocie element $h=0$ (ma on najniższą, zerową normę spośród elementów $H$ i jest to jedyny element o tej normie), wystarczy więc rozpatrzeć translację $C+h$ zbioru $C$ dla dowolnie wybranego elementu $h\in H.$

Jednoznacznie wyznaczony element $a$ nazywa się też rzutem elementu $h$ na (domknięty i wypukły) zbiór $C$ i oznacza ${\mathrm{P}\mathrm{r}}_{C}h$. Jeśli $F\subseteq H$ jest domkniętym podzbiorem $H,$ to $a={\mathrm{P}\mathrm{r}}_{F}h$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x\in F$ zachodzi nierówność

$⟨a,x-a⟩⩾⟨h,x-a⟩.$

Nazwa „rzut” (i oznaczenie $\mathrm{P}\mathrm{r}$) bierze się z tego, że odwzorowanie ${\mathrm{P}\mathrm{r}}_C(\cdot )$ jest odwzorowaniem zwężającym, a stąd ciągłym, a ponadto jest idempotentne na $C,$ tj. ${\mathrm{P}\mathrm{r}}_{C}C=C,$ co oznacza, że odwzorowanie to jest retrakcją.

Bibliografia

• Julian Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989, s. 79–80