Reguła równoległoboku

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Szablon:Inne znaczenia

Równoległobok. Boki zaznaczono kolorem niebieskim, przekątne – kolorem czerwonym.

Reguła równoległoboku – prawo matematyczne, którego najprostsza postać należy do geometrii elementarnej. Reguła ta mówi, iż suma kwadratów długości czterech boków równoległoboku równa jest sumie kwadratów długości dwóch przekątnych. Dla równoległoboku ABCD, zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok, można zapisać ją wzorem

(|AB|)2+(|BC|)2+(|CD|)2+(|DA|)2=(|AC|)2+(|BD|)2.

Jeżeli równoległobok jest prostokątem, to przekątne mają równe długości, a twierdzenie sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa. W ogólności jednak kwadrat długości żadnej z przekątnych nie jest sumą kwadratów długości dwóch boków.

Przestrzenie unitarne

W przestrzeniach unitarnych wyrażenie reguły równoległoboku sprowadza się do tożsamości algebraicznej nazywanej często właśnie tożsamością równoległoboku:

2‖𝐱‖2+2‖𝐲‖2=‖𝐱+𝐲‖2+‖𝐱−𝐲‖2,

gdzie:

‖𝐱‖2=⟨𝐱,𝐱⟩.

Przestrzenie unormowane

Większość rzeczywistych i zespolonych unormowanych przestrzeni liniowych nie jest wyposażonych w iloczyny skalarne, ale we wszystkich określone są normy (stąd nazwa). Z tego powodu można obliczyć wartości wyrażeń po obu stronach powyższej równości. Ważnym faktem jest, iż jeżeli spełniona jest powyższa tożsamość, to norma musiała powstać w standardowy sposób z pewnego iloczynu skalarnego (została przez niego indukowana). Dodatkowo iloczyn skalarny ją generujący wyznaczony jest jednoznacznie, co jest konsekwencją tożsamości polaryzacyjnej; w przypadku rzeczywistym dany jest on wzorem

⟨𝐱,𝐲⟩=‖𝐱+𝐲‖2−‖𝐱−𝐲‖24

lub, równoważnie,

‖𝐱+𝐲‖2−‖𝐱‖2−‖𝐲‖22 albo ‖𝐱‖2+‖𝐲‖2−‖𝐱−𝐲‖22.

W przypadku zespolonym wzór ma postać:

⟨𝐱,𝐲⟩=‖𝐱+𝐲‖2−‖𝐱−𝐲‖24+i‖i𝐱−𝐲‖2−‖i𝐱+𝐲‖24.

Linki zewnętrzne

Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Reguła_równoległoboku&oldid=2336”