Tożsamość polaryzacyjna

Tożsamość polaryzacyjna lub wzór polaryzacyjny – wzór będący odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia dla elementów rzeczywistych przestrzeni unitarnych.

Twierdzenie

Jeśli $x$ i $y$ są elementami rzeczywistej przestrzeni unitarnej $X,$ to prawdziwy jest następujący wzór, nazywany tożsamością polaryzacyjną:

Szablon:Wzór

Zastępując w równaniu Szablon:LinkWzór $y$ przez $-y,$ otrzymuje się wzór

Szablon:Wzór

co odpowiada równości występującej w twierdzeniu cosinusów.

Dodanie równań Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór daje

$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2,$

co odpowiada tożsamości równoległoboku.

Z kolei odejmując stronami Szablon:LinkWzór od Szablon:LinkWzór, dostaje się

$\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2=4⟨x,y⟩.$

Warto zauważyć analogie powyższych wzorów do następujących wzorów skróconego mnożenia: równanie Szablon:LinkWzór odpowiada Szablon:LinkWzór, a równanie Szablon:LinkWzór odpowiada Szablon:LinkWzór, a powyższa suma Szablon:LinkWzór oraz Szablon:LinkWzór poniżej sumie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór. Tożsamość Szablon:LinkWzór jest odpowiednikiem wzoru na kwadrat dwumianu:

Szablon:Wzór

z kolei w Szablon:LinkWzór, podobnie jak wyżej, zmieniono znak $b:$

Szablon:Wzór

ostatecznie suma Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, to

$(a+b{)}^2+(a-b{)}^2=2a^2+2b^2.$

Wyprowadzenie

Każdą przestrzeń unitarną da się w naturalny sposób wyposażyć w normę, daną wzorem

Szablon:Wzór

Iloczyn skalarny

$⟨x+y,x+y⟩=⟨x+y,x⟩+⟨x+y,y⟩$

jest wynikiem rozdzielności pierwszego czynnika względem sumy drugiego składnika, która zachodzi ze względu na liniowość iloczynu skalarnego. Rozdzielność kolejnych czynników względem sum pierwszych czynników po prawej stronie powyższego równania daje

$⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+⟨y,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,y⟩,$

a ponieważ iloczyn skalarny jest przemienny, to równanie to upraszcza się dalej do

Szablon:Wzór

Przyłożenie definicji normy z równania Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór daje równanie Szablon:LinkWzór, czyli tożsamość polaryzacyjną.

Uogólnienia

Tożsamości mogą być uogólnione na wielomiany jednorodne (tj. formy algebraiczne) dowolnego stopnia.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Polarization identity Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].