Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym

Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym:

Każde ciągłe odwzorowanie sympleksuSzablon:U $s$ w siebie ma punkt stały.

Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego wymiaru (a więc niepusty).

n-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy zbiór wypukły w ${ℝ}^{n+1},$ zawierający $n+1$ punktów leżących na dodatnich półosiach współrzędnych, w odległości 1 od początku układu współrzędnych (inaczej: otoczkę wypukłą punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich $n+1$ osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy odwzorowaniach afinicznych. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych, np. dla kuli ${𝔻}^n\subset {ℝ}^n.$ Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi.

Twierdzenie Brouwera pochodzi z 1910 roku i pojawiło się jako wynik rozważań Brouwera o piątym problemie HilbertaSzablon:R. Na początku sformułował je on tylko dla przestrzeni ${ℝ}^2,$ ale szybko rozszerzył również w wyższe wymiary. Obecnie wiadomo również, że równoważne twierdzenia zostały udowodnione wcześniej przez łotewskiego matematyka Piersa Bohla w 1904 roku oraz francuskiego matematyka Henri Poincarégo w 1886 rokuSzablon:R.

Twierdzenie Brouwera wynika z twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym oraz jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia Schaudera o punkcie stałym.

Zastosowania

• Jeżeli ${𝔻}^{n+1}$ jest kulą jednostkową w ${ℝ}^{n+1},$ to jej powierzchnia (homeomorficzna ze sferą ${𝕊}^n$) nie jest jej retraktem. Istotnie, gdyby istniała retrakcja $r:{𝔻}^{n+1}\to {𝕊}^n,$ to odwzorowanie $f:{𝔻}^{n+1}\to {𝔻}^{n+1}$ takie, że $f(x)=-r(x)$ nie miałoby punktów stałych wbrew twierdzeniu Brouwera. Jeśli $x\in {𝕊}^n,$ to $x=r(x),$ a więc $x\ne f(x).$ Zaś gdy $x\in {𝔻}^{n+1}\setminus {𝕊}^n,$ to $x\ne f(x)$ bo $f(x)\in {𝕊}^n$.
• Żadna sfera ${𝕊}^n$ nie jest ściągalna. Istotnie, każdy różny od 0 punkt kuli ${𝔻}^{n+1}$ można jednoznacznie przedstawić w postaci $tx$ dla pewnych $x\in {𝕊}^n$ oraz $t\in (0,1].$ Gdyby istniała homotopia $h_t:{𝕊}^n\to {𝕊}^n$ od identyczności $𝒾=h_0$ do odwzorowania stałego, to przekształcenie $r:{𝔻}^{n+1}\to {𝔻}^{n+1},tx\mapsto h_{1-t}(x)$ byłoby retrakcją kuli na jej powierzchnię.

Zobacz też

• twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym
• twierdzenie Schaudera o punkcie stałym

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Brouwer theorem Szablon:Lang Encyclopaedia of Mathematics, SpringerLink
• Szablon:Otwarty dostęp Proving Brouwer’s Fixed Point Theorem, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 18 stycznia 2018 [dostęp 2024-08-29].