Twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym

W matematyce, dokładniej w topologii algebraicznej, twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym to twierdzenie dające kryterium, dzięki któremu można stwierdzić, czy odwzorowanie z realizacji geometrycznej zwartego (tj. skończonego) kompleksu symplicjlanego w siebie ma punkt stały.

Treść twierdzenia

Niech $K$ będzie skończonym kompleksem symplicjalnym, $|K|$ jego realizacją geometryczną, $f:|K|\to |K|$ odwzorowaniem ciągłym, a $\lambda (f)$ liczbą Lefschetza odwzorowania $f.$ Wówczas jeżeli $\lambda (f)\ne 0,$ to odwzorowanie $f$ ma punkt stały.

Zastosowania

Jeżeli przestrzeń $|K|$ jest ściągalna (w szczególności, gdy jest sympleksem), to liczba Lefschetza dowolnego odwzorowania ciągłego $f:|K|\to |K|$ jest równa 1, a więc każde takie odwzorowanie ma punkt stały. Czyli z twierdzenia Lefschetza wynika twierdzenie Brouwera o punkcie stałym.

Zobacz też

• twierdzenie Brouwera o punkcie stałym