Sympleks (matematyka)

Sympleks – uogólnienie odcinka, trójkąta i czworościanu na dowolne wymiary. Intuicyjnie, $k$ -wymiarowym sympleksem nazywamy $k$ -wymiarowy wielościan, który jest wypukłą otoczką swoich $k + 1$ wierzchołków^[1].

Definicja w przestrzeni liniowej

Niech $k ⩽ n .$

Niech $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ będą wektorami $n$ -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej i niech każde $n$ różnych wektorów spośród nich tworzą liniowo niezależny układ.

Sympleksem $k$ -wymiarowym $S$ o $k + 1$ wierzchołkach $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ jest zbiór wektorów:

S = {r_{0} x_{0} + r_{1} x_{1} + r_{2} x_{2} + \dots + r_{k} x_{k} : r_{0}, r_{1}, r_{2}, \dots, r_{k} ⩾ 0 \land r_{0} + r_{1} + r_{2} + \dots + r_{k} = 1} .

Równoważnie:

Niech $k ⩽ n .$

Niech $x, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ będą wektorami $n$ -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej i niech wektory $x_{1}, \dots, x_{k}$ tworzą liniowo niezależny układ.

Sympleksem $k$ -wymiarowym $S$ jest zbiór wektorów:

S = {x + r_{1} x_{1} + r_{2} x_{2} + \dots + r_{k} x_{k} : r_{1}, r_{2}, \dots, r_{k} ⩾ 0 \land r_{1} + r_{2} + \dots + r_{k} ⩽ 1} .

Układ $k + 1$ wektorów $x, x + x_{1}, x + x_{2}, \dots, x + x_{k}$ tworzy wierzchołki sympleksu $S .$

Definicja w przestrzeni afinicznej

Niech $k ⩽ n .$

Niech $p, p_{0}, \dots, p_{k}$ będą punktami rzeczywistej przestrzeni afinicznej $n$ -wymiarowej i niech każde $n$ różnych wektorów spośród $\vec{p p_{0}}, \vec{p p_{1}}, \dots, \vec{p p_{k}}$ tworzą liniowo niezależny układ.

Sympleksem $k$ -wymiarowym $S$ o $k + 1$ wierzchołkach $p_{0}, \dots, p_{k}$ jest zbiór punktów:

S = {p + r_{0} \cdot \vec{p p_{0}} + r_{1} \cdot \vec{p p_{1}} + \dots + r_{k} \cdot \vec{p p_{k}} : r_{0}, r_{1}, \dots, r_{k} ⩾ 0 \land r_{0} + r_{1} + \dots + r_{k} = 1} .

Zdefiniowany zbiór $S$ nie zależy od wyboru punktu $p .$

Każdy punkt tak zdefiniowanego sympleksu jest średnią ważoną z wierzchołków $p_{0}, \dots, p_{k}$ o wagach odpowiednio $r_{0}, r_{1}, \dots, r_{k}$ (tzw. kombinacja wypukła).

Sympleks jest najmniejszym wypukłym zbiorem zawierającym punkty $p_{0}, \dots, p_{k} .$

Równoważnie:

Niech $k ⩽ n .$

Niech $p_{0}, \dots, p_{k}$ będą punktami rzeczywistej przestrzeni afinicznej $n$ -wymiarowej i niech wektory $\vec{p_{0} p_{1}}, \vec{p_{0} p_{2}}, \dots, \vec{p_{0} p_{k}}$ tworzą liniowo niezależny układ.

Sympleksem $k$ -wymiarowym $S$ o $k + 1$ wierzchołkach $p_{0}, p_{1}, \dots, p_{k}$ jest zbiór punktów:

S = {p_{0} + r_{1} \cdot \vec{p_{0} p_{1}} + r_{2} \cdot \vec{p_{0} p_{2}} + \dots + r_{k} \cdot \vec{p_{0} p_{k}} : r_{1}, r_{2}, \dots, r_{k} ⩾ 0 \land r_{1} + r_{2} + \dots + r_{k} ⩽ 1} .

Tak zdefiniowany zbiór $S$ nie zależy od sposobu ponumerowania układu punktów $p_{0}, p_{1}, \dots, p_{k} .$

Przestrzeń euklidesowa

W przestrzeni euklidesowej:

sympleks zerowymiarowy to punkt,
sympleks jednowymiarowy to odcinek,
sympleks dwuwymiarowy to trójkąt,
sympleks trójwymiarowy to czworościan (niekoniecznie foremny),
sympleks czterowymiarowy to 5-komórka,

i ogólnie:

sympleks $n$ -wymiarowy to wielokomórka, której ścianami jest $n + 1$ sympleksów $n - 1$ -wymiarowych.

Lista sympleksów

Poniżej znajduje się lista $n$ -wymiarowych sympleksów (do $n = 10$ włącznie).


Δⁿ	Grafika _{(skośny rzut ortogonalny z ang.: skew orthogonal projection)}	Nazwa symbol Schläfliego diagram Coxetera-Dynkina	Wierzchołków 0-wym.	Krawędzi 1-wym.	Ścian 2-wym.	Komórek 3-wym.	4-wym.	5-wym.	6-wym.	7-wym.	8-wym.	9-wym.	10-wym.
Δ⁰		0-sympleks (punkt)	1
Δ¹		1-sympleks (odcinek) {} Plik:CDW ring.png	2	1
Δ²	Plik:Complete graph K3.svg	2-sympleks (trójkąt) {3} Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury:	3	3	1
Δ³	Plik:Complete graph K4.svg	3-sympleks (czworościan) {3,3} Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury:	4	6	4	1
Δ⁴	Plik:Complete graph K5.svg	4-sympleks (pentachoron) {3,3,3} Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury:	5	10	10	5	1
Δ⁵	Błąd przy generowaniu miniatury:	5-sympleks {3,3,3,3} Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury:	6	15	20	15	6	1
Δ⁶	Plik:Complete graph K7.svg	6-sympleks {3,3,3,3,3} Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury:	7	21	35	35	21	7	1
Δ⁷		7-sympleks {3,3,3,3,3,3} Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW 3b.png	8	28	56	70	56	28	8	1
Δ⁸		8-sympleks {3,3,3,3,3,3,3} Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury:	9	36	84	126	126	84	36	9	1
Δ⁹	Błąd przy generowaniu miniatury:	9-sympleks {3,3,3,3,3,3,3,3} Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury:	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
Δ¹⁰		10-sympleks {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Plik:CDW ring.png Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury: Plik:CDW 3b.png Błąd przy generowaniu miniatury:	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1

Wielkości opisujące sympleks

Liczba k-wymiarowych sympleksów w sympleksie n-wymiarowym

Dana jest dwuargumentowa funkcja $N (n, k)$ określająca liczbę sympleksów $k$ -wymiarowych w sympleksie $n$ -wymiarowym, przy czym $n ⩾ k .$ Oczywiste jest wówczas, że dowolny sympleks $n$ -wymiarowy składa się z:

$n + 1$ sympleksów zerowymiarowych, czyli wierzchołków:

N (n, k) = n + 1; k = 0,

dokładnie jednego sympleksu $n$ -wymiarowego, czyli z samego siebie:

N (n, k) = 1; k = n .

Aby, mając dany $n$ -wymiarowy sympleks, utworzyć na jego podstawie sympleks $(n + 1)$ -wymiarowy, należy dodać 1 nowy wierzchołek. Wynika stąd, iż $(n + 1)$ -wymiarowy sympleks będzie miał o 1 wierzchołek więcej, niż sympleks $n$ -wymiarowy. Nowe krawędzie (sympleksy jednowymiarowe) dodajemy, łącząc wszystkie wierzchołki pierwotnego sympleksu z nowo utworzonym wierzchołkiem. Tak więc liczba krawędzi w obecnym sympleksie zwiększy się o liczbę wierzchołków w sympleksie pierwotnym. Nowe ściany (sympleksy dwuwymiarowe) tworzymy natomiast, łącząc wszystkie wierzchołki starego sympleksu z nowym wierzchołkiem. Stąd też liczba ścian nowego sympleksu powiększy się o liczbę krawędzi w starym sympleksie itd. Uogólniając powyższe spostrzeżenie na dowolny wymiar: każdy $n$ -wymiarowy sympleks posiada pewną liczbę sympleksów $k$ -wymiarowych, która jest równa liczbie tych sympleksów dla $(n - 1)$ -wymiarowego sympleksu, powiększoną o liczbę sympleksów $(k - 1)$ -wymiarowych dla tegoż sympleksu. To wszystko zachodzi oczywiście dla $0 < k < n :$

N (n, k) = N (n - 1, k - 1) + N (n - 1, k); 0 < k < n .

Z powyższych rozważań utworzyć można rekurencyjny wzór na liczbę $k$ -wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie $n$ -wymiarowym:

N (n, k) = {\begin{matrix} n + 1; & k = 0 \\ 1; & k = n \\ N (n - 1, k - 1) + N (n - 1, k); & 0 < k < n \end{matrix} .

Zauważmy, że gdyby $N (n, k) = n; k = 1$ wówczas powyższy wzór opisywałby symbol Newtona, czyli $N (n, k) = (\binom{n}{k})$ Jednak ponieważ $N (n, k) = n + 1; k = 0$ jedynym racjonalnym wzorem, spełniającym wszystkie 3 powyższe warunki wzoru rekurencyjnego, jest $N (n, k) = (\binom{n + 1}{k + 1})$ Dlatego też ostatecznie wzór jawny na liczbę $k$ -wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie $n$ -wymiarowym wyraża się wzorem:

N (n, k) = (\binom{n + 1}{k + 1}) .

Środek masy sympleksu

Definicja jawna

Jest to punkt będący średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych wszystkich $n + 1$ wierzchołków $n$ -wymiarowego sympleksu:

S_{n} = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 1}^{n + 1} P_{k} .

Definicja rekurencyjna

Dla sympleksu jednowymiarowego (odcinka) – średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych obu wierzchołków.

Dla sympleksu $n$ -wymiarowego, gdzie $n ⩾ 2$ – punkt przecięcia się wszystkich środkowych sympleksu, przy czym środkowa sympleksu jest to odcinek łączący dowolny wierzchołek ze środkiem masy sympleksu $(n - 1)$ -wymiarowego przeciwległego do tego wierzchołka.

Środek masy sympleksu foremnego

Dowolny $n$ -wymiarowy sympleks foremny można zorientować w $n$ -wymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych w taki sposób, aby wartości $n$ -tej współrzędnej dla $n$ wierzchołków były równe 0, zaś wartość tej współrzędnej dla $(n + 1)$ -tego wierzchołka była różna od 0. Wówczas owe n wierzchołków tworzy pewien $(n - 1)$ -wymiarowy sympleks foremny, będący podstawą naszego sympleksu $n$ -wymiarowego, zaś wartość $n$ -tej współrzędnej określa jego wysokość. Ponieważ wartości tej współrzędnej wszystkich wierzchołków podstawy wynosi 0, jej wartość dla ich średniej arytmetycznej również wynosi 0. Wynika stąd, iż $n$ -ta współrzędna dla środka masy podstawy także ma wartość 0. Jedynie współrzędna ta dla $(n + 1)$ -tego wierzchołka ma wartość różną od 0. W takim razie wartość $n$ -tej współrzędnej dla wszystkich $n + 1$ wierzchołków jest sumą $n$ zer i jednej wartości różnej od zera, podzieloną przez $n + 1 .$ Tak więc wartość tejże współrzędnej dla środka masy naszego $n$ -wymiarowego sympleksu jest ilorazem jego wysokości podzieloną przez $n + 1 .$ Ostatecznie, środek danego sympleksu n-wymiarowego $S_{n}$ położony jest w odległości równej $\frac{1}{n + 1}$ jego wysokości od środka masy jego podstawy $S_{n - 1}$ i w odległości wynoszącej $\frac{n}{n + 1}$ jego wysokości od wierzchołka przeciwległego do tej podstawy $P_{n + 1} :$

| S_{n} S_{n - 1} | = h_{n} \cdot \frac{1}{n + 1},

| S_{n} P_{n + 1} | = h_{n} \cdot \frac{n}{n + 1} .

Wysokość sympleksu foremnego

Biorąc pod uwagę definicję sympleksu foremnego, jego podstawy, jak również i wysokości, udowodnić można prawdziwość poniższej rekurencyjnej zależności pomiędzy wysokością n-wymiarowego sympleksu foremnego $h_{n}$ a wysokością jego podstawy $h_{n - 1} :$

h_{n} = \sqrt{h_{n - 1}^{2} - \frac{h_{n - 1}^{2}}{n^{2}}}

Powyższą zależność odpowiednio przekształcamy:

\begin{matrix} \sqrt{h_{n - 1}^{2} - \frac{h_{n - 1}^{2}}{n^{2}}} & = h_{n - 1} \sqrt{1 - \frac{1}{n^{2}}} \\ = h_{n - 1} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} - 1}}{n} \\ = h_{n - 1} \cdot \frac{\sqrt{(n - 1) (n + 1)}}{n} \\ = h_{n} . \end{matrix}

Jako warunek brzegowy tej rekurencyjnej zależności, zakładamy, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, czyli odcinka, jest równy długości tegoż odcinka, czyli długości krawędzi naszego sympleksu:

h_{1} = x .

Następnie, chcąc policzyć wysokość dowolnego $n$ -wymiarowego sympleksu foremnego, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla $k$ równego od 1 do $n .$ W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:

h_{n} = x \cdot \frac{\sqrt{1 \cdot 3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 4}}{3} \cdot \dots \cdot \frac{\sqrt{(n - 2) n}}{n - 1} \cdot \frac{\sqrt{(n - 1) (n + 1)}}{n} .

Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:

\begin{matrix} h_{n} & = x \cdot \frac{\sqrt{(1 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 4) \cdot \dots \cdot (n - 2) n \cdot (n - 1) (n + 1)}}{n!} \\ = x \cdot \frac{\sqrt{1 \cdot 2 \cdot {(\frac{(n - 1)!}{2})}^{2} \cdot n \cdot (n + 1)}}{n!} \\ = x \cdot \frac{(n - 1)! \sqrt{2 n (n + 1)}}{2 n!} \\ = x \cdot \frac{\sqrt{2 n (n + 1)}}{2 n} \\ = x \sqrt{\frac{n + 1}{2 n}} . \end{matrix}

Ostatecznie, wysokość $n$ -wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości $x$ wyraża się wzorem:

h_{n} = x \sqrt{\frac{n + 1}{2 n}}

Natomiast rekurencyjna zależność na tę wysokość:

h_{n} = {\begin{matrix} x; & n = 1 \\ h_{n - 1} \cdot \frac{\sqrt{(n - 1) (n + 1)}}{n}; & n > 1 \end{matrix} .

Nietrudno policzyć, że wysokość sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

\lim_{n \to \infty} h_{n} = \lim_{n \to \infty} x \sqrt{\frac{n + 1}{2 n}} = \frac{x \sqrt{2}}{2}

Miara główna sympleksu foremnego

Pod pojęciem miary głównej $n$ -wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem długości odcinka, pola powierzchni trójkąta równobocznego oraz objętości czworościanu foremnego, na $n$ -ty wymiar. Dowolny $n$ -wymiarowy sympleks foremny można podzielić na podstawę, składającą się z n wierzchołków, oraz $(n + 1)$ -tego przeciwległego do tej podstawy wierzchołka. Pomiędzy podstawą a przeciwległym do niej wierzchołkiem istnieje pewna wielkość zwana wysokością sympleksu, która jest równa odległości tego wierzchołka od $(n - 1)$ -wymiarowej hiperpłaszczyzny, w której zawarta jest podstawa. Wysokość sympleksu jest liniowo wprost proporcjonalna do odległości podstawy od przeciwległego do niej wierzchołka. Gdyby połączyć każdy wierzchołek podstawy z wierzchołkiem do niej przeciwległym, wówczas można zauważyć, że nasz $n$ -wymiarowy sympleks jest odzwierciedleniem tejże podstawy, znajdującej się w pewnej odległości od jej przeciwległego wierzchołka, w pewnej skali. Ponieważ wszystkie odcinki, uzyskane z połączenia wierzchołków należących do podstawy z przeciwległym do niej wierzchołkiem, są liniami prostymi, skala długości krawędzi podstawy jest liniowo wprost proporcjonalna do jej odległości od jej przeciwległego wierzchołka. Natomiast stosunek skal $(n - 1)$ -wymiarowych miar głównych dwóch podstaw jest równy $(n - 1)$ -szej potędze stosunku długości odpowiednich krawędzi tych podstaw. Wynika więc stąd, iż stosunek skal $(n - 1)$ -wymiarowych miar głównych dwóch podstaw $X_{(n - 1) 1}$ i $X_{(n - 1) 2}$ jest równy $(n - 1)$ -szej potędze stosunku odpowiednich wysokości $h_{n 1}$ i $h_{n 2}$ łączących te podstawy z przeciwległym do nich wierzchołkiem:

\frac{X_{(n - 1) 1}}{X_{(n - 1) 2}} = {(\frac{h_{n 1}}{h_{n 2}})}^{n - 1} | \cdot X_{(n - 1) 2} .

Mnożąc obie strony powyższego równania przez $X_{(n - 1) 2}$ otrzymujemy:

X_{(n - 1) 1} = X_{(n - 1) 2} {(\frac{h_{n 1}}{h_{n 2}})}^{n - 1} .

Zakładamy, że pierwsza podstawa jest skalą podstawy naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do $h_{n},$ zaś druga podstawa jest podstawą tegoż sympleksu oraz pierwsza wysokość jest zmienną w przedziale od 0 do $h_{n}$ zaś druga wysokość jest wysokością tego sympleksu:

X_{(n - 1) 2} = X_{n - 1},

h_{n 1} = x,

h_{n 2} = h_{n} .

Wówczas miara główna naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego jest całką od 0 do $h_{n}$ ze skali tego sympleksu w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do $h_{n} :$

\begin{matrix} X_{n} & = \int_{0}^{h_{n}} X_{n - 1} {(\frac{h}{h_{n}})}^{n - 1} d h \\ = \frac{X_{n - 1}}{h_{n}^{n - 1}} \int_{0}^{h_{n}} h^{n - 1} d h \\ = \frac{X_{n - 1}}{h_{n}^{n - 1}} {[\frac{h^{n}}{n}]}_{0}^{h_{n}} \\ = \frac{X_{n - 1}}{h_{n}^{n - 1}} \cdot \frac{h_{n}^{n}}{n} \\ = \frac{1}{n} X_{n - 1} h_{n} . \end{matrix}

Tak więc z powyższego wyrażenia wynika, iż miara główna $n$ -wymiarowego sympleksu foremnego jest równa iloczynowi współczynnika $\frac{1}{n}$ miary głównej podstawy tegoż sympleksu oraz jego wysokości, co ma charakter rekurencyjny:

X_{n} = \frac{1}{n} X_{n - 1} h_{n} .

Ze wzoru na wysokość sympleksu foremnego łatwo zauważyć, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, a więc dla $n = 1,$ jest równa długości jego krawędzi:

h_{1} = x .

Następnie, chcąc policzyć miarę główną naszego sympleksu, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla $k$ równego od 1 do $n .$ W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:

X_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \dots \cdot \frac{1}{n - 1} \cdot \frac{1}{n} \cdot h_{1} \cdot h_{2} \cdot \dots \cdot h_{n - 1} \cdot h_{n} .

Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:

\begin{matrix} X_{n} & = \frac{1}{n!} \cdot x \cdot \frac{x \sqrt{3}}{2} \cdot \dots \cdot x \sqrt{\frac{n}{2 (n - 1)}} \cdot x \sqrt{\frac{n + 1}{2 n}} \\ = \frac{1}{n!} \cdot x^{n} \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 1} \cdot \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot \dots \cdot \frac{n}{2 (n - 1)} \cdot \frac{n + 1}{2 n}} \\ = \frac{x^{n}}{n!} \sqrt{\frac{(n + 1)!}{2^{n} n!}} \\ = \frac{x^{n}}{n!} \sqrt{\frac{n + 1}{2^{n}}} . \end{matrix}

Ostatecznie, miara główna $n$ -wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości $x$ wyraża się wzorem:

X_{n} = \frac{x^{n}}{n!} \sqrt{\frac{n + 1}{2^{n}}} .

Natomiast rekurencyjna zależność na miarę główną naszego sympleksu:

X_{n} = {\begin{matrix} x^{n}; & n ⩽ 1 \\ \frac{1}{n} X_{n - 1} h_{n}; & n > 1 \end{matrix} .

Nietrudno policzyć, że miara główna sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

\lim_{n \to \infty} X_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n}}{n!} \sqrt{\frac{n + 1}{2^{n}}} = 0 .

Całkowita miara k-wymiarowa sympleksu foremnego n-wymiarowego

Pod pojęciem k-wymiarowej miary całkowitej n-wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem obwodu (całkowitej miary 1-wymiarowej) trójkąta równobocznego (sympleksu foremnego 2-wymiarowego), czworościanu foremnego (sympleksu foremnego 3-wymiarowego) oraz jego pola powierzchni całkowitej (całkowitej miary 2-wymiarowej), odpowiednio na $k$ -ty i $n$ -ty wymiar. Nietrudno zauważyć, że dowolny $n$ -wymiarowy sympleks foremny o krawędzi długości x składa się z $N (n, k)$ jednakowych $k$ -wymiarowych sympleksów foremnych, z których długości poszczególnych krawędzi również są równe $x .$ Tak więc $k$ -wymiarowa miara całkowita $n$ -wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości $x$ jest równa iloczynowi miary głównej pojedynczego k-wymiarowego sympleksu foremnego o długości krawędzi, która także wynosi $x,$ czyli $X_{k}$ oraz liczby wszystkich takich k-wymiarowych sympleksów foremnych w danym n-wymiarowym sympleksie foremnym $N (n, k) :$

X_{k n} = N (n, k) \cdot X_{k} = (\binom{n + 1}{k + 1}) \frac{x^{k}}{k!} \sqrt{\frac{k + 1}{2^{k}}} .

Nietrudno policzyć, że dowolna $k$ -wymiarowa miara całkowita sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

\lim_{n \to \infty} X_{k n} = \lim_{n \to \infty} (\binom{n + 1}{k + 1}) \frac{x^{k}}{k!} \sqrt{\frac{k + 1}{2^{k}}} \to \infty .

Zobacz też

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Szablon:Kontrola autorytatywna

↑ Szablon:Encyklopedia PWN

[epwn-1] Szablon:Encyklopedia PWN

[1]

Sympleks (matematyka)

Spis treści

Definicja w przestrzeni liniowej

Definicja w przestrzeni afinicznej

Przestrzeń euklidesowa

Lista sympleksów

Wielkości opisujące sympleks

Liczba k-wymiarowych sympleksów w sympleksie n-wymiarowym

Środek masy sympleksu

Środek masy sympleksu foremnego

Wysokość sympleksu foremnego

Miara główna sympleksu foremnego

Całkowita miara k-wymiarowa sympleksu foremnego n-wymiarowego

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Sympleks (matematyka)

Definicja w przestrzeni liniowej

Definicja w przestrzeni afinicznej

Przestrzeń euklidesowa

Lista sympleksów

Wielkości opisujące sympleks

Liczba k-wymiarowych sympleksów w sympleksie n-wymiarowym

Środek masy sympleksu

Środek masy sympleksu foremnego

Wysokość sympleksu foremnego

Miara główna sympleksu foremnego

Całkowita miara k-wymiarowa sympleksu foremnego n-wymiarowego

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Szukaj