Czworościan foremny

Czworościan foremny

Przykładowa siatka czworościanu foremnego

Przykładowe siatki czworościanu foremnego

Kostka do gry w kształcie czworościanu (stosowana m.in. w grach fabularnych)

Czworościan foremny a. tetraedr (z gr.) – czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi. Jeden z pięciu wielościanów foremnych. Ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan foremny jest przykładem trójwymiarowego sympleksu. Czworościan foremny jest dualny do samego siebie. Kanoniczne współrzędne wierzchołków czworościanu mają postać (1, 1, 1), (−1, −1, 1), (−1, 1, −1) i (1, −1, −1).

Czworościan foremny może być wpisany w sześcian na dwa sposoby tak, aby każdy jego wierzchołek pokrywał się z jakimś wierzchołkiem sześcianu, a każda jego krawędź z przekątną jednej ze ścian sześcianu. Objętość każdego z tych czworościanów wynosi 1/3 objętości sześcianu. Suma mnogościowa tych dwóch czworościanów tworzy wielościan zwany stella octangula, a ich część wspólna tworzy ośmiościan foremny.

Czworościany foremne wraz z ośmiościanami foremnymi wystarczą do wypełnienia całej przestrzeni. Ścinając wszystkie wierzchołki czworościanu w 1/3 długości krawędzi, uzyskujemy wielościan półforemny o nazwie czworościan ścięty.

Wzory i własności

W poniższych wzorach $a$ oznacza długość krawędzi czworościanu foremnego.

Pole powierzchni całkowitej:

$S=\sqrt{3}{a}^2\approx 1,7321a^2.$

Objętość:

$V=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3\approx 0,1179a^3.$

Wysokość, czyli odległość od dowolnego wierzchołka do środka przeciwległej ściany:

$h=a\frac{\sqrt{24}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}a\approx 0,8165a.$

Miara kąta nachylenia krawędzi do ściany, w której krawędź się nie zawiera:

$\alpha =\arcsin \frac{\sqrt{6}}{3}\approx 54,7356^{\circ }.$

Promień kuli opisanej:

$R=\frac{\sqrt{6}}{4}a\approx 0,6124a.$

Promień kuli wpisanej:

$r=\frac{\sqrt{6}}{12}a\approx 0,2041a.$

Promień kuli stycznej do krawędzi czworościanu:

$\delta =\frac{\sqrt{2}}{4}a\approx 0,3536a.$

Zależności między promieniami $R,r,\delta$

$R=3\cdot r,R=\frac{3}{4}h,r=\frac{1}{4}h$,

$\delta =\sqrt{R\cdot r}.$

Miara kąta między ścianami:

$\beta =\arcsin \frac{\sqrt{8}}{3}\approx 70,53^{\circ }.$

Czworościan foremny ma:

• 6 płaszczyzn symetrii, każda z nich przechodzi przez jedną z jego krawędzi i środek przeciwległej krawędzi,
• 3 osie symetrii, każda z nich przechodzi przez środki przeciwległych krawędzi,
• 4 osie obrotu, każda z nich przechodzi przez wierzchołek czworościanu i środek przeciwległej ściany.

Zobacz też

• dwunastościan
• dwudziestościan

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].