Dwunastościan foremny

Dwunastościan foremny

Stereoskopowa animacja składania i obrotu dwunastościanu foremnego

Przykładowa siatka dwunastościanu foremnego

Dwunastościan foremny a. dodekaedr (z gr.) – wielościan foremny o 12 ścianach w kształcie przystających pięciokątów foremnych. Ma 30 krawędzi i 20 wierzchołków. Ścinając wierzchołki dwunastościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwunastościan ścięty. Bryła oznaczona jest symbolem Schläfliego {5,3}Szablon:R.

Wzory i własności

W poniższych wzorach $a$ oznacza długość krawędzi dwunastościanu foremnego.

• Pole powierzchni całkowitejSzablon:R:

$S=3a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}\approx 20,6457a^2$

• ObjętośćSzablon:R:

$V=\frac{1}{4}{a}^3(15+7\sqrt{5})\approx 7,6613a^3$

• Apoloniusz z Pergi wykazał, że dla dwudziestościanu foremnego i dwunastościanu foremnego opartych na wpisanych kulach o takim samym promieniu zachodzi zależnośćSzablon:R:

$\frac{V_{20}}{V_{12}}=\frac{S_{20}}{S_{12}}=\sqrt{\frac{3}{10}(5-\sqrt{5})}$

gdzie $V_n,S_n$ oznacza odpowiednio objętość i pole powierzchni $n$-ścianu foremnego.

• Promień kuli wpisanejSzablon:R:

$r=\frac{a}{20}\sqrt{10(25+11\sqrt{5})}\approx 1,1135a$

• Promień kuli stycznej do krawędziSzablon:R:

$\delta =\frac{a(3+\sqrt{5})}{4}$

• Promień kuli opisanejSzablon:R:

$R=\frac{a}{4}\sqrt{3}(1+\sqrt{5})\approx 1,4013a$

• Kąt między sąsiednimi ścianamiSzablon:R:

$\alpha =\arccos (-\frac{\sqrt{5}}{5})\approx 116,6^{\circ }$

• Grupa symetriiSzablon:R:

I_h

Zobacz też

• dwunastościan ścięty