Dwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny

Dwudziestościan foremny

Animacja obrotu dwudziestościanu

Przykładowa siatka dwudziestościanu foremnego

Dwudziestościan foremny a. ikosaedr lub ikozaedr (z gr.) – najbardziej złożony wielościan foremny o 20 ścianach w kształcie przystających trójkątów równobocznych. Ma 30 krawędzi i 12 wierzchołków oraz 15 płaszczyzn symetrii. Ścinając wierzchołki dwudziestościanu, otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwudziestościan ścięty. Symetria bryły jest opisana niekrystalograficzną klasą mSzablon:NadkreślenieSzablon:Nadkreślenie.

Wzory i własności

W poniższych wzorach $a$ oznacza długość krawędzi dwudziestościanu foremnego.

• Pole powierzchni całkowitej:

$S=5a^2\sqrt{3}\approx 8,6603a^2$

• Objętość:

$V=\frac{5}{12}{a}^3(3+\sqrt{5})\approx 2,1817a^3$

• Apoloniusz z Pergi wykazał, że dla dwudziestościanu foremnego i dwunastościanu foremnego opartych na wpisanych kulach o takim samym promieniu zachodzi zależnośćSzablon:R:

$\frac{V_{20}}{V_{12}}=\frac{S_{20}}{S_{12}}=\sqrt{\frac{3}{10}(5-\sqrt{5})}$

gdzie $V_n,S_n$ oznacza odpowiednio objętość i pole powierzchni $n$-ścianu foremnego.

• Promień kuli wpisanej:

$r=\frac{a}{12}\sqrt{3}(3+\sqrt{5})\approx 0,7558a$

• Promień kuli opisanej:

$R=\frac{a}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\approx 0,9511a$

• Promień kuli stycznej do krawędzi

$\delta =\frac{a(1+\sqrt{5})}{4}$

• kąt między ścianami:

138,2°

• Grupa symetrii:

I_h

Zobacz też

• dwudziestościan ścięty

Linki zewnętrzne

• Konstrukcja dwudziestościanu w oparciu o sześcian