Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny – trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość^[1]; szczególny przypadek trójkąta równoramiennego. Jest przykładem wielokąta foremnego.

Niech $a$ oznacza bok trójkąta równobocznego. Wówczas trójkąt ma następujące własności:

każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę:

α = \frac{π}{3} = 6 0^{\circ},

obwód wynosi:

L = 3 a,

wysokość ma długość^[2]:

h = \frac{a \sqrt{3}}{2} \approx 0, 866 a,

pole powierzchni jest równe^[2]:

S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \approx 0, 433 a^{2},

długość promienia okręgu wpisanego wynosi^[2]:

r = \frac{1}{3} h = \frac{a \sqrt{3}}{6} \approx 0, 289 a,

długość promienia okręgu opisanego wynosi^[2]:

R = \frac{2}{3} h = \frac{a \sqrt{3}}{3} \approx 0, 577 a,

jego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi, symetralnymi i środkowymi oraz dzielą się wzajemnie w stosunku 1 : 2.

Zależności liczbowe w trójkącie równobocznym

Niech dodatkowo $L_{r}, L_{R}$ oznaczają odpowiednio obwód okręgu wpisanego i opisanego, zaś $S_{r}, S_{R}$ – odpowiednio pole koła wpisanego i opisanego.

$=$	$a$	$h$	$S$	$r$	$R$	$L_{r}$	$L_{R}$	$S_{r}$	$S_{R}$
$a$	$a$	$\frac{2 h \sqrt{3}}{3}$	$2 \sqrt{\frac{S \sqrt{3}}{3}}$	$2 r \sqrt{3}$	$R \sqrt{3}$	$\frac{L_{r} \sqrt{3}}{π}$	$\frac{L_{R} \sqrt{3}}{2 π}$	$2 \sqrt{\frac{3 S_{r}}{π}}$	$\sqrt{\frac{3 S_{R}}{π}}$
$h$	$\frac{a \sqrt{3}}{2}$	$h$	$\sqrt{S \sqrt{3}}$	$3 r$	$\frac{3}{2} R$	$\frac{3 L_{r}}{2 π}$	$\frac{3 L_{R}}{4 π}$	$3 \sqrt{\frac{S_{r}}{π}}$	$\frac{3}{2} \sqrt{\frac{S_{R}}{π}}$
$S$	$\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$	$\frac{h^{2} \sqrt{3}}{3}$	$S$	$3 r^{2} \sqrt{3}$	$\frac{3 R^{2} \sqrt{3}}{4}$	$\frac{3 {L_{r}}^{2} \sqrt{3}}{4 π^{2}}$	$\frac{3 {L_{R}}^{2} \sqrt{3}}{16 π^{2}}$	$\frac{3 S_{r} \sqrt{3}}{π}$	$\frac{3 S_{R} \sqrt{3}}{4 π}$
$r$	$\frac{a \sqrt{3}}{6}$	$\frac{1}{3} h$	$\frac{\sqrt{S \sqrt{3}}}{3}$	$r$	$\frac{1}{2} R$	$\frac{L_{r}}{2 π}$	$\frac{L_{R}}{4 π}$	$\sqrt{\frac{S_{r}}{π}}$	$\sqrt{\frac{S_{R}}{4 π}}$
$R$	$\frac{a \sqrt{3}}{3}$	$\frac{2}{3} h$	$\frac{2 \sqrt{S \sqrt{3}}}{3}$	$2 r$	$R$	$\frac{L_{r}}{π}$	$\frac{L_{R}}{2 π}$	$2 \sqrt{\frac{S_{r}}{π}}$	$\sqrt{\frac{S_{R}}{π}}$
$L_{r}$	$\frac{π a \sqrt{3}}{3}$	$\frac{2 π h}{3}$	$\frac{2 π \sqrt{S \sqrt{3}}}{3}$	$2 π r$	$π R$	$L_{r}$	$\frac{L_{R}}{2}$	$2 \sqrt{π S_{r}}$	$\sqrt{π S_{R}}$
$L_{R}$	$\frac{2 π a \sqrt{3}}{3}$	$\frac{4 π h}{3}$	$\frac{4 π \sqrt{S \sqrt{3}}}{3}$	$4 π r$	$2 π R$	$2 L_{r}$	$L_{R}$	$4 \sqrt{π S_{r}}$	$2 \sqrt{π S_{R}}$
$S_{r}$	$\frac{π a^{2}}{12}$	$\frac{π h^{2}}{9}$	$\frac{π S \sqrt{3}}{9}$	$π r^{2}$	$\frac{π R^{2}}{4}$	$\frac{{L_{r}}^{2}}{4 π}$	$\frac{{L_{R}}^{2}}{16 π}$	$S_{r}$	$\frac{S_{R}}{4}$
$S_{R}$	$\frac{π a^{2}}{3}$	$\frac{4 π h^{2}}{9}$	$\frac{4 π S \sqrt{3}}{9}$	$4 π r^{2}$	$π R^{2}$	$\frac{{L_{r}}^{2}}{π}$	$\frac{{L_{R}}^{2}}{4 π}$	$4 S_{r}$	$S_{R}$