Trójkąt

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Wielokąt infobox Trójkąt – wielokąt o trzech bokachSzablon:Odn. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).

Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkątaSzablon:Odn. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.

Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionamiSzablon:Odn.

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°Szablon:Odn, zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności (patrz dalej).

Rodzaje

A, B, C – wierzchołki
a, b, c – boki
α, β, γ – kąty
∡CAB, ∡ABC, ∡ACB — kąty (inny sposób oznaczania)

Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów.

Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:

• trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości;
• trójkąt równoramienny ma dwa boki (ramiona) tej samej długościSzablon:Odn;
• trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długościSzablon:Odn; wszystkie jego kąty są tej samej miary.

równoboczny	równoramienny	różnoboczny

Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:

• trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostreSzablon:Odn;
• trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prostySzablon:Odn (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnejSzablon:Odn; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej;
• trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwartySzablon:Odn.

ostrokątny	prostokątny	rozwartokątny

Trójkąty można dzielić również ze względu na inne relacje równoważności, np. podobieństwo, przystawanie.

Ważne pojęcia

Wysokość trójkąta to odcinek, który łączy wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok i który jest prostopadły do tej prostej. Często wysokością nazywa się również długość tego odcinka. Punkt wspólny wysokości i boku trójkąta (lub jego przedłużenia) nazywa się spodkiem tej wysokości. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Wysokości trójkąta (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy ortocentrum.

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, nazywanym środkiem ciężkości (barycentrum, środkiem masy) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środekSzablon:Odn. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącieSzablon:Odn.

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkątSzablon:Odn.

Symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

Punkt Nagela – punkt, w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

Punkt Gergonne'a – punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

Punkty Brocarda – w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.

Punkt Fermata – punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

wysokości i ortocentrum	środkowe i barycentrum	symetralne i okrąg opisany	dwusieczne i okrąg wpisany

Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie

W każdym trójkącie punkty przecięcia: środkowych boków $S_1,$ symetralnych boków $S_2,$ wysokości $S_3$ (odpowiednio: barycentrum, środek okręgu opisanego, ortocentrum) leżą na jednej prostej, zwanej prostą Eulera. Ponadto $|S_1{S}_3|=2|S_1{S}_2|.$

Pole powierzchni

Przyjmując dla trójkąta $ABC$ następujące oznaczenia:

$a,b,c$ – długości boków;

$h_a,h_b,h_c$ – wysokości opuszczone na boki odpowiednio $a,b,c;$

$\alpha ,\beta ,\gamma$ – kąty leżące naprzeciw boków odpowiednio $a,b,c;$

$S$ – pole powierzchni;

$R$ – promień okręgu opisanego;

$r$ – promień okręgu wpisanego;

$p$ – połowa obwodu; $p=\frac{a+b+c}{2};$

dostaniemy następujące wzory na pole powierzchniSzablon:Odn:

Poglądowy dowód wzoru na pole powierzchni trójkąta wynoszącego połowę iloczynu podstawy i opadającej na nią wysokości.

$S=\frac{a{h}_a}{2}=\frac{b{h}_b}{2}=\frac{c{h}_c}{2};$

$S=\frac{ab\sin \gamma }{2}=\frac{bc\sin \alpha }{2}=\frac{ca\sin \beta }{2};$

$S=pr=\frac{abc}{4R};$

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (wzór Herona);

$S=\frac{1}{4}\sqrt{-\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& 0& a^2& b^2\\ 1& a^2& 0& c^2\\ 1& b^2& c^2& 0\end{array}\right|}$ (postać wyznacznikowa).

Z powyższych wzorów można wyprowadzić również następujące:

$S=\frac{a^2\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }=\frac{1}{4}\sqrt{((a+b{)}^2-c^2)(c^2-(a-b{)}^2)}=$

$=2R^2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma .$

W geometrii analitycznej przyjmując dla wierzchołków trójkątaSzablon:Odn

$A=(x_A,y_A),$

$B=(x_B,y_B),$

$C=(x_C,y_C),$

dostaniemy także następujące wzory:

$S=\left|\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|\right|,$ czyli

$S=\frac{1}{2}|\det \left[\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right]|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|x_A{y}_B+x_B{y}_C+x_C{y}_A-x_C{y}_B-x_A{y}_C-x_B{y}_A|;$

$S=\frac{1}{2}|\det \left[\begin{array}{cc}{x}_B-x_A& y_B-y_A\\ x_C-x_A& y_C-y_A\end{array}\right]|.$

Środek geometryczny

Szablon:Osobna sekcja Trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne kartezjańskie:

$A=(x_A,y_A),$

$B=(x_B,y_B),$

$C=(x_C,y_C),$

ma środek geometryczny (barycentrum) w punkcie:

$Q=(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}).$

Nierówność trójkąta

Wizualizacja „działania” nierówności trójkąta

W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą $a,$ $b$ i $c$ zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:

$a<b+c,$

i analogicznie

$b<c+a,$

$c<a+b.$

Trójkąt o bokach, których długości wynoszą $a,$ $b$ i $c$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:

$|b-c|<a<b+c.$

Geometrie nieeuklidesowe

Na płaszczyźnie euklidesowej suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, czyli $180^{\circ }=\pi .$

W geometriach innych niż euklidesowa suma kątów wewnętrznych nie musi wynosić 180°. Na przykład osoba, która pójdzie z bieguna północnego 10 tys. km na południe, 10 tys. km na zachód, a potem 10 tys. km na północ znajdzie się z powrotem na biegunie, choć dwukrotnie skręciła o 90°, więc trójkąt przez nią zakreślony ma sumę kątów większą niż 180°, a dokładnie 270°. Dzieje się tak, gdyż na sferze (dobre przybliżenie powierzchni geoidy) obowiązuje geometria eliptyczna, a nie euklidesowa. Dowód własności, że w przestrzeni euklidesowej suma kątów w trójkącie wynosi 180°, opiera się na piątym aksjomacie Euklidesa, który wyróżnia geometrię euklidesową spośród innych geometrii.

Zobacz też

• okrąg dziewięciu punktów
• sympleks
• trójkąt Penrose’a
• trójkąt sferyczny
• trójkąt wymierny
• twierdzenia: sinusów, cosinusów, tangensów
• twierdzenie Cevy, trygonometryczne
• twierdzenie Menelaosa
• twierdzenie Pitagorasa
• wzór Herona

Bibliografia

• Szablon:Cytuj

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-06-01].