Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny
a, b – długości przyprostokątnych,
c – długość przeciwprostokątnej,
α, β – miary kątów ostrych,
h – długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną

Trójkąt prostokątny – trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.

Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski, tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5.

Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.

Własności geometryczne

• środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym;
• przyprostokątne trójkąta prostokątnego są jego wysokościami;
• symetralne przyprostokątnych są liniami środkowymi;
• środkowa opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne;
• wysokość trójkąta opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Powstałe trójkąty są podobne tak do siebie, jak i całego trójkąta.

Związki metryczne

Pole powierzchni

Dane jest wzorami:

$\begin{array}{cc}S& =\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch=\\ & =\frac{1}{2}{b}^2\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{2}{a}^2\mathrm{tg}\beta =\\ & =\frac{1}{4}{c}^2\sin 2\alpha =\frac{1}{4}{c}^2\sin 2\beta .\end{array}$

Długości odcinków

• Boki trójkąta prostokątnego spełniają twierdzenie Pitagorasa;
• Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość:

$h=\frac{ab}{c}=\sqrt{c_1{c}_2}.$

Drugi wzór to średnia geometryczna długości odcinków, na które spodek wysokości dzieli przeciwprostokątną.

• Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem: $R=\frac{1}{2}c.$
• Promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem: $r=\frac{a+b-c}{2}.$

Dowód: Zgodnie z wzorem na różnicę kwadratów: $(a+b-c)(a+b+c)=(a+b{)}^2-c^2.$ Z twierdzenia Pitagorasa wynika: $(a+b{)}^2-c^2=2ab.$ Zatem z wzorów na pole trójkąta: $S=pr=\frac{1}{2}ab=\frac{a+b-c}{2}p$ i $r=\frac{a+b-c}{2}.$

• Niech $r_1,r_2$ oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na które dzieli go wysokość. Wówczas zachodzą równości:

$r+r_1+r_2=h.$

Dowód: Z wzoru na promień okręgu wpisanego: $r=\frac{a+b-c}{2},$ $r_1=\frac{y+h-a}{2},$ $r_2=\frac{x+h-b}{2},$ gdzie $x,y$ to długości odcinków, na które wysokość dzieli $c.$ Zatem $(x+y=c)$ $\frac{a+b-c}{2}+\frac{y+h-a}{2}+\frac{x+h-b}{2}=\frac{2h}{2}$

$r_1^2+r_2^2=r^2,$

co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.

• Niech $r_a,r_b,r_c$ oznaczają promienie okręgów dopisanych. Wówczas są spełnione:

$r=\frac{r_a{r}_b}{r_c},$

$r_c=r+r_a+r_b.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-06-01].