Wzór Herona

Trójkąt o bokach a, b i c

Wzór Herona – wzór pozwalający obliczyć pole (S) trójkąta, jeśli znane są długości a, b, c jego boków. Wzór znany był już Archimedesowi, a jego nazwa pochodzi od Herona, który podał go w swojej Metryce.

Niech $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$ oznacza połowę obwodu trójkąta. Wtedy jego pole S wynosi:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4}.$

Wzór Herona może zostać wykorzystany do obliczeń, nawet jeżeli odcinki o podanych długościach nie tworzą trójkąta. W sytuacji, gdy wszystkie trzy odcinki i wszystkie trzy łączące je punkty leżą na jednej prostej, na przykład, gdy zachodzi równość $a+b=c,$ więc wyrażenie $p-c$ jest równe $0,$ co powoduje, że $S=0.$

Jeżeli natomiast odcinkami o podanych długościach nie można połączyć trzech punktów tej samej płaszczyzny, tzn. $a+b<c,$ to wartość $p-c<0,$ co sprawia, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, a więc $S\notin ℝ.$

Dowód

W dowodzie wykorzystamy inny wzór na pole trójkąta

$S=\frac{1}{2}bc\sin \alpha .$

W tym celu, korzystając z twierdzenia cosinusów, wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta $\alpha$

${\cos }^2\alpha ={\left(\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\right)}^2={\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2.$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej i przekształceń algebraicznych, otrzymujemy:

$\begin{array}{cc}{\sin }^2\alpha & =1-{\cos }^2\alpha \\ & =1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2\\ & =(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})\\ & =\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot \frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc}\\ & =\frac{(b+c{)}^2-a^2}{2bc}\cdot \frac{a^2-(b-c{)}^2}{2bc}\\ & =\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}\cdot \frac{(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}\end{array}$

$p$ oznacza połowę obwodu trójkąta, więc

$b+c+a=2p$

$a+b-c=2p-2c=2(p-c)$

$a-b+c=2p-2b=2(p-b)$

$b+c-a=2p-2a=2(p-a)$

${\sin }^2\alpha =\frac{2p\cdot 2(p-a)}{2bc}\cdot \frac{2(p-c)\cdot 2(p-b)}{2bc}=\frac{4}{b^2{c}^2}p(p-a)(p-b)(p-c)$

$\sin \alpha =\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona.

$S=\frac{1}{2}bc\sin \alpha =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Postać wyznacznikowa

$S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4}=\frac{1}{4}\sqrt{-\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& 0& a^2& b^2\\ 1& a^2& 0& c^2\\ 1& b^2& c^2& 0\end{array}\right|}$

Wzór na pole z wykorzystaniem wysokości

Jeśli $h_a,h_b,h_c$ są wysokościami trójkąta o bokach odpowiednio $a,b,c,$ to $a=\frac{2S}{h_a},b=\frac{2S}{h_b},c=\frac{2S}{h_c}.$ Po podstawieniu tych wzorów do wzoru Herona i prostych przekształceniach otrzymujemy:

$S=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}-\frac{1}{h_c})(\frac{1}{h_a}-\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})(-\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})}}$

Wzór Brahmagupty

Wzór Brahmagupty to wzór analogiczny do wzoru Herona, który pozwala obliczyć pole S czworokąta o bokach długości $a,b,c,d$ wpisanego w okrąg:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},$

gdzie:

$p=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$

oznacza połowę obwodu czworokąta.

Dla dowolnego czworokąta (również niewpisanego w okrąg), wzór na jego pole przedstawia się następująco:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot {\cos }^2\theta },$

gdzie $\theta$ to połowa sumy dowolnej pary dwóch przeciwległych kątów czworokąta. W przypadku czworokątów wpisanych w okrąg obie te sumy są sobie równe i wynoszą 180°.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld
• Szablon:MathWorld