Jedynka trygonometryczna

Jedynka trygonometryczna – tożsamość trygonometryczna postaci:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$

Jest ona prawdziwa dla każdej wartości kąta $x\in ℝ,$ a także ogólniej dla argumentów zespolonych.

Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

${\sec }^{2}x-{\mathrm{tg}}^{2}x=1,$

${\mathrm{cosec}}^{2}x-{\mathrm{ctg}}^{2}x=1.$

Dowód

Sposób 1:

Niech $P=(x_0,y_0),O=(0,0),X_0=(x_0,0),\mathrm{\angle }PO{X}_0=\alpha ,|OP|=r.$

Zauważmy, że:

$|\mathrm{\angle }P{X}_{0}O|=\frac{\pi }{2},$

więc trójkąt $PO{X}_0$ jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej $r.$

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$r^2=|x_0{|}^2+|y_0{|}^2,$

$r^2=x_0^2+y_0^2,$

$1={\left(\frac{x_0}{r}\right)}^2+{\left(\frac{y_0}{r}\right)}^2.$

Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie

${\left(\frac{x_0}{r}\right)}^2+{\left(\frac{y_0}{r}\right)}^2$

jest równe

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha .$

Zatem

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1,$

q.e.d.

Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa.

Sposób 2:

Ze wzoru Eulera:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

oraz

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.$

Zatem

$\begin{array}{cc}{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x& ={\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)}^2+{\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)}^2\\ & =\frac{e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{-4}+\frac{e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4}\\ & =\frac{2+2}{4}=1,\end{array}$

q.e.d.

Stąd wynika, że jedynka trygonometryczna jest słuszna w dziedzinie liczb zespolonych.

Sposób 3:

Niech:

$f(x)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x.$

Zauważmy, że:

$f(0)={\sin }^{2}0+{\cos }^{2}0=0^2+1^2=1.$

Także:

$f^{\prime }(x)=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^{\prime }=\sin x\cos x+\sin x\cos x-\sin x\cos x-\sin x\cos x=0.$

Skoro pochodna funkcji $f(x)$ jest równa 0, to funkcja $f(x)$ musi być funkcją stałą.

Wiedząc, że $f(0)=1,$ oraz że funkcja $f(x)$ jest funkcją stałą, możemy dojść do wniosku, że

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$

q.e.d.

Zobacz też

• funkcje trygonometryczne
• jedynka hiperboliczna