Jedynka hiperboliczna

Jedynka hiperboliczna – tożsamość hiperboliczna postaci:

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

spełniona dla każdej rzeczywistej lub zespolonej wartości x.

Dowód

Sposób 1:

Jak wiemy:

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},$

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},$

stąd:

$\begin{array}{cc}& {\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x\\ =& {\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)}^2\\ =& (\frac{e^x+e^{-x}}{2}-\frac{e^x-e^{-x}}{2})\cdot (\frac{e^x+e^{-x}}{2}+\frac{e^x-e^{-x}}{2})\\ =& \left(\frac{e^x+e^{-x}+(-e^x)+e^{-x}}{2}\right)\cdot \left(\frac{e^x+e^{-x}+e^x-e^{-x}}{2}\right)\\ =& \frac{2e^{-x}}{2}\cdot \frac{2e^x}{2}\\ =& e^{-x}\cdot e^x=1,\end{array}$

c.b.d.o.

Sposób 2:

Skorzystamy ze:

• związku między funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi

$\cosh x=\cos (ix),$

$\sinh x=-i\sin (ix),$

• jedynki trygonometrycznej słusznej dla każdej liczby zespolonej,

stąd:

$\begin{array}{cc}& {\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x\\ =& {\cos }^2(ix)-{(-i\sin (ix))}^2\\ =& {\cos }^2(ix)-(-i{)}^2\cdot {\sin }^2(ix)\\ =& {\cos }^2(ix)-(-1{)}^2{i}^2\cdot {\sin }^2(ix)\\ =& {\cos }^2(ix)-i^2{\sin }^2(ix)\\ =& {\cos }^2(ix)+{\sin }^2(ix)\\ =& 1,\end{array}$

c.b.d.o.