Wzór Eulera

Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera

Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą, określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

Wzór

Niech $x\in ℝ,$ zaś $i$ jest jednostką urojoną, wtedy wzór Eulera ma postać:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

Historia

Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci

$\ln (\cos x+i\sin x)=ix.$

Euler jako pierwszy opublikował go w formie „standardowej” – tej, która później stała się najczętszą. Zrobił to w 1748, opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie podał interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela).

Dowód

Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje $e^x,\sin x,\cos x$ przyjmują postaćSzablon:Odn:

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!},$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!},$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}.$

Powyższe wzory służą jako definicje zespolonych funkcji exp, sin i cos, tzn. definiuje się funkcje:

$\exp :ℂ\to ℂ,\exp z:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$Szablon:Odn,

$\sin :ℂ\to ℂ,\sin z:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!}$,

$\cos :ℂ\to ℂ,\cos z:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n}}{(2n)!}$.

Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego $z\in ℂ,$ gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonychSzablon:Odn.

W szczególności mamy: $e^{iz}=1+iz+\frac{(iz{)}^2}{2!}+\frac{(iz{)}^3}{3!}+\frac{(iz{)}^4}{4!}+\dots =(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots )+i(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\dots )=\cos z+i\sin z,$

gdzie skorzystaliśmy z tego, że:

• jeżeli szeregi $\sum _n{a}_n$ oraz $\sum _n{b}_n$ są zbieżne, to zbieżny jest również szereg $\sum _n(a_n+b_n),$ oraz: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n+b_n)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n,$ (addytywność);
• jeżeli szereg $\sum _n{a}_n$ jest zbieżny, to również szereg $\sum _{n}c{a}_n$ jest zbieżny, oraz $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}c{a}_n=c\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,$ gdzie c jest stałą (jednorodność).

Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia $z\mapsto x\in ℝ$ daje oryginalną tożsamość opisaną przez Eulera.

Inne uzasadnienie formuły

Niech $f:ℝ\to ℂ$ będzie dana przez $f(x)=\cos (x)+i\sin (x).$ Wówczas

$f^{\prime }(x)=i\cos (x)-\sin (x)=i(\cos (x)+i\sin (x))=if(x).$

Następnie niech $g(x)=e^{-ix}f(x).$ Wtedy

$g^{\prime }(x)=e^{-ix}(f^{\prime }(x)-if(x))=0$

dla każdego $x,$ a stąd $g$ jest funkcją stałą. Ponieważ

$g(0)=e^{-i\cdot 0}f(0)=\cos (0)+i\sin (0)=1,$

mamy $g(x)=1$ dla wszystkich $x.$ Stąd też $f(x)=g(x)e^{ix}=e^{ix},$ czyli

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x).$

Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.

Trygonometria

Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii, dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej. Odpowiednie wzory można wyprowadzić, budując odpowiedni układ równań:

$\{\begin{array}{c}{e}^{ix}=\cos x+i\sin x\\ e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)\end{array}.$

Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:

$\{\begin{array}{c}{e}^{ix}=\cos x+i\sin x\\ e^{-ix}=\cos x-i\sin x\end{array}.$

Po dodaniu stronami:

$e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x,$

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.$

Analogicznie otrzymuje się wzór:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$

Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie $x=iy$ daje:

$\cos (iy)=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\cosh y,$

$\sin (iy)=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\sinh y.$

Zastosowanie

Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone, ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że $i^2=-1$ i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},$

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},$

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa, rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera, wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.

Przykłady

Sinus kąta zwielokrotnionego

Dla całkowitych dodatnich $n$ wyrażenia postaci $\sin nx$ dają się wyrazić za pomocą samych wartości $\sin x$ i $\cos x$ oraz elementarnych działań.

Korzystając z powyższych wzorów:

$\sin nx=\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}=\frac{(e^{ix}{)}^n-(e^{-ix}{)}^n}{2i}.$

Ze wzoru Eulera:

$\sin nx=\frac{(\cos x+i\sin x{)}^n-(\cos x-i\sin x{)}^n}{2i}.$

Z dwumianu Newtona:

$\sin nx=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(\cos x{)}^k(i\sin x{)}^{n-k}-(\cos x{)}^k(-i\sin x{)}^{n-k}}{2i}.$

Wyłączając wspólny czynnik:

$\sin nx=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\cos x{)}^k(\sin x{)}^{n-k}\frac{i^{n-k}-(-i{)}^{n-k}}{2i}$

i stosując wzór Eulera, dostajemy ostatecznie

$\sin nx=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\cos x{)}^k(\sin x{)}^{n-k}\sin \frac{(n-k)\pi }{2}$

Kilka pierwszych wielokrotności:

$\sin 2x=2\cos x\sin x,$

$\sin 3x=3{\cos }^{2}x\sin x-{\sin }^{3}x,$

$\sin 4x=4{\cos }^{3}x\sin x-4\cos x{\sin }^{3}x,$

$\sin 5x=5{\cos }^{4}x\sin x-10{\cos }^{2}x{\sin }^{3}x+{\sin }^{5}x.$

Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych

Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:

$f(x)=8{\cos }^{3}x\sin x-4\cos x\sin x.$

Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:

$f(x)=8{\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)}^3\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}-4\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\cdot \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$

Po wymnożeniu jest:

$f(x)=(e^{3ix}+3e^{2ix}{e}^{-ix}+3e^{ix}{e}^{-2ix}+e^{-3ix})\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}-\frac{2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}$

i dalej:

$f(x)=\frac{e^{4ix}+3e^{2ix}+3+e^{-2ix}-e^{2ix}-3-3e^{-2ix}-e^{-4ix}}{2i}-\frac{2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i},$

po skróceniu:

$f(x)=\frac{e^{4ix}-e^{-4ix}}{2i},$

dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:

$f(x)=\sin 4x.$

Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera

Obliczyć całkę:

$\int {\sin }^{2}x\cos 4xdx.$

Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:

$\begin{array}{cc}\int {\sin }^{2}x\cos 4xdx=& \int {\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)}^2\left(\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}\right)dx\\ =& -\frac{1}{8}\int (e^{2ix}-2+e^{-2ix})(e^{4ix}+e^{-4ix})dx\\ =& -\frac{1}{8}\int (e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix})dx.\\ =& -\frac{1}{8}\int ((e^{6ix}+e^{-6ix})-2(e^{4ix}+e^{-4ix})+(e^{2ix}+e^{-2ix}))dx.\\ =& -\frac{1}{8}\int (2\cos 6x-2\cdot 2\cos 4x+2\cos 2x)dx.\end{array}$

W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:

$\int {\sin }^{2}x\cos 4xdx=-\frac{1}{24}\sin 6x+\frac{1}{8}\sin 4x-\frac{1}{8}\sin 2x+C.$

Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej

Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:

$\int e^x\cos xdx.$

ponieważ $\cos x$ jest częścią rzeczywistą $e^{ix}$ możemy zapisać

$\int e^x\cos xdx=\mathrm{Re}\int e^x{e}^{ix}dx.$

Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:

$\int e^x{e}^{ix}dx=\int e^{(1+i)x}dx=\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}+C.$

A zatem:

$\begin{array}{cc}\int e^x\cos xdx=& \mathrm{Re}\left\{\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}\right\}+C\\ =& e^x\mathrm{Re}\left\{\frac{e^{ix}}{1+i}\right\}+C\\ =& e^x\mathrm{Re}\left\{\frac{e^{ix}(1-i)}{2}\right\}+C\\ =& e^x\frac{\cos x+\sin x}{2}+C.\end{array}$

Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów FourieraSzablon:Odn, w których występują całki postaci $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)\sin nxdx$ i $\underset{-a}{\overset{a}{\int }}f(x)\cos nxdx.$

Tożsamość Eulera

Funkcja wykładnicza e^z może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z/N)^N, przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+iπ / N)^N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+iπ / N)^N). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+iπ / N)^N zbliża się do −1. Zatem e^iπ=-1.

W szczególności, podstawiając $x=\pi ,$ otrzymuje się równość:

$e^{\pi i}+1=0,$

nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).

Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.

„Najpiękniejszy wzór”

Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:

• liczbę 0,
• liczbę 1,
• liczbę π,
• liczbę e,
• liczbę i, jednostkę urojoną liczb zespolonych.

Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem.

Uogólnienie

Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki $n$-tego stopnia sumują się do $0$ dla $n>1:$

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{\frac{2\pi ik}{n}}=0.$

Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie $n=2.$ Powyższą równość można zapisać i w postaci:

$\sum _{k=0}^n{e}^{\frac{2\pi ik}{n}}=1.$

ponieważ: $\exp (2\pi i)=1.$

Zobacz też

• funkcja wykładnicza
• liczby zespolone
• logarytm naturalny
• stała Gelfonda

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Wzór i tożsamość Eulera, kanał Khan Academy na YouTube, 7 października 2017 [dostęp 2024-06-23].
• Szablon:Otwarty dostęp Grant Sanderson, Euler’s formula with introductory group theory, kanał 3blue1brown, YouTube, 3 marca 2017 [dostęp 2021-03-15].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-06-18].
• Szablon:Otwarty dostęp Euler formulas Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].