Funkcje parzyste i nieparzyste

Fragment wykresu cosinusa – przykładu funkcji parzystej

Funkcje parzyste i nieparzyste – typy funkcji matematycznych cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. Funkcja $f$ jest:

• parzysta, jeżeli spełnia równanie $f(x)=f(-x)$ (symetria względem zmiany znaku argumentu);
• nieparzysta, jeżeli spełnia równanie $f(-x)=-f(x)$ (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji).

Równania te muszą być prawdziwe dla wszystkich $x$ należących do dziedziny funkcji $f.$ Powyższe równości wymagają, aby wraz z $x$ do dziedziny należał również punkt $-x,$ stąd dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być symetryczne względem zera.

Przykłady

Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała funkcja wykładnicza, a jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są funkcje stałe równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny.

Funkcje parzyste

• wartość bezwzględna $f(x)=|x|,$
• funkcja potęgowa o parzystym wykładniku, $f(x)=x^{2k},$ gdzie $k\in \mathbb{N},$
• funkcja trygonometryczna $f(x)=\cos x,$
• funkcja hiperboliczna $f(x)=\cosh x,$
• wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej (np. $f(x)=x^{10}+2x^6-x^2+4$),
• funkcja sinc,
• funkcja Dirichleta,
• funkcja Weierstrassa,
• funkcje prostokątna i trójkątna.

Funkcje nieparzyste

• funkcja liniowa $f(x)=ax$ (proporcjonalność prosta),
• funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku: $f(x)=x^{2k+1},k\in \mathbb{N},$
• funkcje trygonometryczne $f(x)=\sin x,$ $f(x)=\mathrm{tg}x$   i   $f(x)=\mathrm{ctg}x,$
• funkcje hiperboliczne $f(x)=\sinh x,$ $f(x)=\mathrm{tgh}x$   i   $f(x)=\mathrm{ctgh}x,$
• wielomiany o niezerowych współczynnikach tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej (np. $f(x)=x^7+6x^5-10x^3+\sqrt{3\pi }x$),
• funkcja signum,
• funkcja błędu Gaussa,
• funkcja Gudermanna,
• całka Fresnela.

Własności

• Jedyne różnowartościowe funkcje parzyste to funkcja pusta oraz funkcje określone jedynie w zerzeSzablon:Fakt.
• Oba zbiory funkcji parzystych i funkcji nieparzystych ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę stanowią przestrzenie liniowe.
• Każdą funkcję $f,$ dla której takie stwierdzenie ma sens, można przedstawić jako sumę funkcji parzystej $g$ i nieparzystej $h,$ gdzie dla każdego $x$ z dziedziny

  $g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ oraz $h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$

• Przykładami powyższego rozkładu są $e^x=\cosh x+\sinh x$ oraz $e^{ix}=\cos x+i\sin x.$
• Niech $f_1,f_2$ będą funkcjami parzystymi, a $g_1,g_2$ funkcjami nieparzystymi. Wtedy:
  • $f_1\cdot f_2,g_1\cdot g_2$ oraz $f_1/f_2,g_1/g_2$ (tam, gdzie określone) są funkcjami parzystymi,
  • $f_1\cdot g_1$ oraz $f_1/g_1$ (tam, gdzie jest określona) są funkcjami nieparzystymi,
  • $f_1\circ f_2,f_1\circ g_1,g_1\circ f_1$ jest funkcją parzystą ($\circ$ jest tu złożeniem funkcji),
  • $g_1\circ g_2$ jest funkcją nieparzystą.

Wykresy

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi $OY,$ a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli $0$ należy do dziedziny nieparzystej funkcji $f,$ to $f(0)=0$ (wykres funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych).

Rozszerzenie na inne algebry

Zwykle pojęcia te stosuje się, gdy dziedziną funkcji jest podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, czy w ogólności ciał. Definicje mają jednak sens także dla innych pierścieni, a nawet bardziej ogólnych grup.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Parzystość i nieparzystość funkcji, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 20223-10-10].
• Szablon:Otwarty dostęp Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-06-13]:
  • Justyna Biernacka, Funkcja parzysta i jej przykłady.
  • Justyna Biernacka, Funkcja nieparzysta i jej przykłady.
  • Beata Kuna, Własności funkcji złożonych.
• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Funkcje parzyste i nieparzyste, kanał Khan Academy na YouTube, 11 stycznia 2023 [dostęp 20223-10-10].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-10-10].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-10-10].