Funkcja liniowa

Wykres przykładowej funkcji liniowej w kartezjańskim układzie współrzędnych

Funkcja liniowa – dowolna funkcja matematyczna opisana równaniem liniowym, czyli postaci:

$x\mapsto ax+b,$

gdzie argumentami $x$ są liczby rzeczywiste lub inne obiekty, które można dodawać i mnożyć, np. liczby zespolone. Parametry $a,b$ są dowolnymi stałymi znanymi jako współczynnik kierunkowy i wyraz wolny. O dwóch zmiennych, z których każda jest funkcją liniową drugiej, mówi się, że są liniowo zależne lub w zależności liniowej. Jest to uogólnienie:

• funkcji stałych, dla których $a=0;$
• proporcjonalności prostych, dla których $b=0$.

Jeśli argumentami takiej funkcji są liczby rzeczywiste, to dziedziną może być cała oś rzeczywista, a wykresem w kartezjańskim układzie współrzędnych jest linia prosta.

Funkcje liniowe mają zastosowania związane z ich regularną strukturą i znanymi własnościami – w szczególności geometrycznymi:

• korzysta się z nich podczas linearyzacji bardziej skomplikowanych zagadnień, np. przybliżania liniowego;
• w statystyce korzysta się z metody estymacji (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną regresją liniową (popularną jej metodą jest metoda najmniejszych kwadratów), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym błędzie standardowym.

Funkcje liniowe mają różne uogólnienia jak funkcje:

• przedziałami liniowe, zdefiniowane różnymi wzorami liniowymi na różnych przedziałach;
• wielomianowe, zawierające też wyższe potęgi zmiennej;
• homograficzne będące ilorazami funkcji liniowych.

W algebrze liniowej „liniowość” definiuje nie w oparciu o własności geometryczne, lecz o własności algebraiczne zachowujące strukturę tzw. przestrzeni liniowych. Funkcje mające tę własność nazywa się przekształceniami liniowymi lub odwzorowaniami liniowymi, a określenie „funkcja liniowa” rezerwuje się dla funkcji opisywanych w tym artykule. Funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym, jeśli jest funkcją jednorodną, tj. gdy $b=0;$ mają one wówczas postać proporcjonalności prostej $x\mapsto ax.$

Definicja

Szablon:Zobacz też Niech $f:ℝ\to ℝ$ będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję $f$ nazywa się liniową, jeżeli dana jest wzorem

$f(x)=ax+b,$

gdzie $a$ i $b$ są ustalonymi stałymi rzeczywistymi. Niektóre źródłaSzablon:Odn wymagają dodatkowo, aby $f$ była niezdegenerowana, tj.

$a\ne 0.$

Większość źródeł nie stawia takich wymagań.

Własności

Jeśli $a\ne 0,$ to $f$ jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla $a>0$ i malejąca dla $a<0,$ ponadto jest różnowartościowa i „na”, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna. Jest więc odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). Jeśli $b=0,$ to $f$ jest nieparzysta.

Jeśli $a=0,$ to $f$ jest funkcją stałą i jako taka jest ograniczona, parzysta, nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna. Nie jest więc odwracalna. Jeśli dodatkowo $b=0,$ to jest jednocześnie nieparzysta.

Jeśli $a\ne 0,$ to $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe postaci $-\frac{b}{a}.$ Jeśli $a=0,$ to $f$ nie ma miejsc zerowych, gdy $b\ne 0$ i ma nieskończenie miejsc zerowych, gdy $b=0.$

Funkcję liniową wystarczy określić dla dowolnych dwóch różnych argumentów. Istotnie, jeśli $y_1=f(x_1),y_2=f(x_2),$ to:

$f(x)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x+\frac{y_1{x}_2-y_2{x}_1}{x_2-x_1}.$

Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest ciągła i różniczkowalna (a więc także gładka), przy czym pierwsza pochodna jest równa $a,$ a kolejne są tożsamościowo równe zeru.

Wykres funkcji liniowej

Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje o równoległych wykresach zaznaczonych kolorami czerwonym i niebieskim mają ten sam współczynnik kierunkowy, z kolei funkcje o wykresami w kolorach czerwonym i zielonym mają równe wyrazy wolne, skąd mają ten sam punkt przecięcia z osią $OY.$

Szablon:Zobacz też W układzie współrzędnych prostoliniowych (na płaszczyźnie) funkcja liniowa $x\mapsto ax+b$ ma wykres będący prostą, przy czym

• przecina ona oś $OY$ w punkcie $(0,b)$
• przecina ona oś $OX$ w punkcie $(-\frac{b}{a},0)$ dla $a\ne 0,$ nie przecina tej osi, gdy $a=0,b\ne 0.$

W układzie współrzędnych prostokątnych (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. wektorami jednostkowymi definiującymi osie) zachodzi

$a=\text{tg}\alpha ,$

gdzie $\alpha$ jest kątem skierowanym między wykresem i osią $OX.$

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy jest tangensem kąta skierowanego $\alpha ,$ co tłumaczy nazwę tego współczynnika.

Każda prosta nierównoległa do osi $OY$ jest wykresem pewnej funkcji liniowej.

Własności grupowe i reprezentacja macierzowa

• Złożenie dwóch funkcji liniowych jest funkcją liniową. Niech:

$f(x)=ax+b,g(x)=a_{1}x+b_1.$

Wówczas

$(g\circ f)(x)=a_1(ax+b)+b_1=a_{1}ax+a_{1}b+b_1$

także jest funkcją liniową.

• Dla funkcji $f(x)=ax+b$ i $e(x)=x$ zachodzi

$(f\circ e)(x)=(e\circ f)(x)=f(x).$

• Ponadto dla funkcji $f(x)=ax+b,$ w której $a\ne 0,$ funkcja $g(x)=\frac{1}{a}x-\frac{b}{a}$ jest funkcją odwrotną:

$(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)=e(x).$

Ponieważ niezdegenerowana funkcja liniowa jest bijekcją, więc działanie składania takich funkcji jest działaniem łącznym. Oznacza to, że zbiór niezdegenerowanych funkcji liniowych jest grupą.

Funkcję liniową $f(x)=ax+b$ można reprezentować jako macierz postaci:

$F=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right].$

przy tym mnożeniu takich macierzy odpowiada składanie funkcji liniowych.

Własności algebraiczne zbioru funkcji liniowych wynikają z własności pierścienia macierzy górnotrójkątnych powyższej postaci. Jeśli dodatkowo $a\ne 0,$ to macierze te tworzą grupę ze względu na mnożenie.

Własności geometryczne i uogólnienia

Niezdegenerowana funkcja liniowa $f:ℝ\to ℝ$ postaci $f(x)=ax+b$ jest podobieństwem prostej $ℝ$ na siebie, przy tym $|a|$ jest skalą tego podobieństwa.

Ponadto:

• dla $a=1,b=0$ jest to tożsamość,
• dla $a=1,b\ne 0$ jest to translacja o przesunięciu $b,$
• dla $a=-1$ jest to symetria środkowa względem punktu $\frac{b}{2}.$

Dla $a>0$ jest to podobieństwo parzyste (z zachowaniem orientacji), dla $a<0$ jest to podobieństwo nieparzyste (ze zmianą orientacji).

Jeśli $f$ nie jest translacją, tj. $a\ne 1,$ to ma ona punkt stały $\frac{b}{1-a}.$

Funkcja liniowa niezdegenerowana $f:ℝ\to ℝ$ ma swoje uogólnienie na płaszczyznę ${ℝ}^2$ i ogólniej – na ${ℝ}^n$ i nazywa się wówczas przekształceniem afinicznym (w przypadku prostej przekształcenia afiniczne sprowadzają się do podobieństw):

$f(x)=ax+b,$

gdzie $x,b\in {ℝ}^n,$ $a$ jest nieosobliwą macierzą $n\times n.$

Jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.

Innym uogólnieniem niezdegenerowanej funkcji liniowej jest funkcja $f:{ℝ}^n\to ℝ$ postaci

$f(x)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n+b,$

gdzie nie wszystkie $a_i$ są zerowe.

Jej wykresem jest pewna hiperpłaszczyzna w przestrzeni ${ℝ}^n.$

Przykłady zależności liniowych

Matematyka

• Wartość $n$-tego wyrazu $a_n$ ciągu arytmetycznego jest liniową funkcją jego numeru $n:$

$a_n=rn+a_1-r,$

gdzie $r$ jest różnicą ciągu, $a_1$ jego pierwszym wyrazem.

Fizyka

• Temperatura $T_F$ w skali Fahrenehita jest liniową funkcją temperatury $T_C$ w skali Celsjusza:

$T_{\mathrm{F}}=\frac{9}{5}{T}_{\mathrm{C}}+32.$

• W kinematyce: w ruchu jednostajnym prostoliniowym położenie $x_t$ jest liniową funkcją czasu $t:$

${\mathrm{x}}_t=𝐯t+{\mathrm{x}}_0,$

gdzie $v$ jest prędkością, $x_0$ położeniem początkowym.

W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość $v_t$ jest liniową funkcją czasu $t.$

$v_t=at+v_0,$

gdzie $a$ jest przyspieszeniem, $v_0$ jest prędkością początkową.

• Efekt Dopplera: jeśli obserwator zbliża się z prędkością $v_o$ do nieruchomego źródła fali o częstotliwości $f_z,$ to częstotliwość $f_o$ odbieranej przez niego fali jest funkcją liniową jego własnej prędkości $v_o:$

$f_o=\frac{f_z}{v}{v}_o+f_z,$

gdzie $v$ jest prędkością fali w ośrodku.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Tomasz Wójtowicz, Funkcja liniowa – pojęcie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-09-16].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].
• Szablon:Otwarty dostęp Linear function Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-09-16].