Równanie liniowe

Szablon:Dopracować Równanie liniowe – równanie algebraiczne stopnia pierwszego.

Poniższe równania są liniowe:

$2 x - 3 y + 1 = 3$
$x + 2 y + 1 = 2 x$
$- 4 x - 3 = x + 1$
$6 x + y - z + 1 = 3 x + z$

Poniższe równania nie są liniowe:

$2^{x} - x = 3$
$x^{2} - x - 1 = 2 x$
$\sin x - 2 x - 1 = 2$
$| x | - 1 = 0$
$2 x - 3 y^{2} + 1 = 3$

Można też mówić o równaniu liniowym ze względu na wybrane niewiadome – oznacza to, że niewiadome te występują w równaniu w potędze 1. Na przykład równanie $2 x - 3 y^{2} + 1 = 3$ jest liniowe ze względu na $x,$ lecz nie jest liniowe ze względu na $y .$

Dowolne równanie liniowe o jednej niewiadomej daje się zapisać w postaci^[1]:

a x = b,

gdzie $x$ jest niewiadomą, $a$ i $b$ są pewnymi wiadomymi liczbami (lub innymi elementami ciała, w jakim rozpatruje się równanie). Jeśli $a \neq 0,$ to takie równanie zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek (inaczej mówiąc, jedno rozwiązanie), który można znaleźć za pomocą wzoru $x = b / a .$ Jeśli $a = b = 0,$ to wszystkie liczby (elementy ciała) są pierwiastkami tego równania. Jeśli $a = 0, b \neq 0,$ to równanie nie ma żadnego pierwiastka. Należy jednak powiedzieć, że jeżeli $a = 0,$ to stopień tego równania jest nie pierwszym, a zerowym albo w ogóle nieistniejącym, co nie odpowiada podanej wyżej definicji równania liniowego; jednak często takie równania również są traktowane jako liniowe; zaś przyjmując powyższą definicję, można powiedzieć, że równanie liniowe z jedną niewiadomą zawsze ma dokładnie jeden pierwiastek.

Równanie liniowe, które posiada więcej niż jedną niewiadomą, w typowym przypadku ma nieskończenie wiele rozwiązań i nigdy nie może być oznaczonym (czyli mieć dokładnie jedno rozwiązanie). Jakie przypadki przy jakich warunkach są możliwe, można badać, wychodząc z teorii układów równań liniowych, ponieważ równanie można rozpatrywać jako układ o jednym równaniu.