Aproksymacja liniowa

Styczna do wykresu funkcji przechodząca przez punkt $(a,f(a))$

Aproksymacja liniowa funkcji – przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.

Interpolacja liniowa

Szablon:Osobny artykuł Szczególnym przypadkiem aproksymacji liniowej jest interpolacja liniowa, w której wybierane są dwa różne argumenty funkcji, zwane węzłami, po czym konstruowana jest funkcja liniowa mająca w węzłach te same wartości co funkcja przybliżana.

Aproksymacja za pomocą wzoru Taylora

Dla danej funkcji różniczkowalnej $f$ jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora dla $n=1$ można napisać:

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+R_2(x),$

gdzie $R_2$ jest tzw. resztą Peana, spełniającą warunek:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{R_2(x)}{x-a}=0.$

Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:

$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

i przybliżenie to jest tym lepsze, im $x$ jest bliższe $a.$ Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji $f(x),$ w punkcie o współrzędnych $(a,f(a)).$

Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład jeżeli $f(x,y)$ jest funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych, otrzymujemy wzór:

$f(x,y)\approx f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b).$

Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji $z=f(x,y)$ w punkcie o współrzędnych $(a,b,f(a,b)).$

Uogólnienie powyższego na przypadek przestrzeni Banacha wygląda następująco:

$f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a),$

gdzie $Df(a)$ jest pochodną Frecheta funkcji $f$ dla $x=a.$

Przykład

Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej wartości $\sqrt[3]{25}.$

1. Rozważana jest funkcja $f(x)=x^{1/3}.$ Problem polega na obliczeniu przybliżonej wartości funkcji $f(25).$
2. Jest

   $f^{\prime }(x)=1/3x^{-2/3}.$

3. Korzystając z aproksymacji liniowej:

   $f(25)\approx f(27)+f^{\prime }(27)(25-27)=3-2/27=2\frac{25}{27}=2,(925).$

4. Otrzymany wynik 2,926, niewiele różni się od wartości dokładnej 2,924…