Macierz Jacobiego

Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste.

Macierz Jacobiego i jej wyznacznik, nazywany jakobianem, znajdują zastosowanie w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych, gdyż opisują one pochodną Frécheta funkcji wielu zmiennych (przestrzeni euklidesowych) w danym punkcie, o ile pochodna ta istnieje.

Nazwy tych pojęć pochodzą od nazwiska niemieckiego matematyka C.G.J. Jacobiego, który je wprowadził, choć niezależnie badał je Michaił Ostrogradski Szablon:Fakt. Jacobi używał nazwy wyznacznik różniczkowy; termin „jakobian” pochodzi od J.J. Sylvestera (1852)^[1].

Definicja macierzy Jacobiego

Założenia:

$U$ – podzbiór otwarty przestrzeni euklidesowej $ℝ^{n},$
$𝐟 = [f_{1}, \dots, f_{m}]$ – funkcja wektorowa ze zbioru $U$ w przestrzeń $ℝ^{m},$ mająca $m$ funkcji składowych $f_{i}$ ze zbioru $U$ na zbiór liczb rzeczywistych, $f_{i} : U \to R, i = 1, \dots, m$ o zmiennych $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in U .$

Jeżeli funkcja $𝐟$ ma wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie $x \in U,$ to

(1) macierzą Jacobiego $𝐉_{f}$ nazywa się macierz, której elementami $[𝐉_{f}]_{i j}, i = 1, \dots, m, j = 1, \dots, n$ są funkcje ${[\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}]}_{i, j},$ tj. pochodne funkcji po poszczególnych zmiennych mającą postać

[\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{matrix}],

tj.

Pierwszy wiersz tej macierzy stanowią pochodne pierwszej funkcji po poszczególnych zmiennych $x_{1}, \dots, x_{n},$ itd.

(2) Macierz Jacobiego można przedstawić w postaci wektora kolumnowego, którego współrzędnymi są gradienty $\nabla f_{i}$ funkcji $f_{i}$ tworzących funkcję $f,$ tzn.

[\begin{matrix} \nabla f_{1} \\ ⋮ \\ \nabla f_{m} \end{matrix}] .

(3) Macierz Jacobiego można również przedstawić jako iloczyn tensorowy operatora nabla $\nabla = [\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_{n}}]$ i funkcji $f$ zapisanej w postaci kolumny, tj.

𝐉_{f} = \nabla \otimes f^{T},

gdzie $𝐟^{T} = [f_{1}, \dots, f_{m}]^{T}$ – kolumna zawierająca składowe funkcji $f$ ( $T$ oznacza transpozycję wektora).

Uwaga:

Wartością macierzy Jacobiego $𝐉_{f}$ funkcji $𝐟$ w punkcie $x$ nazywa się macierz $𝐉_{f} (x),$ której elementami są wartościami poszczególnych elementów macierzy Jacobiego, obliczone w punkcie $x,$ tj.

{[\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} (x)]}_{i, j} .

Definicja jakobianu

Definicja:

Jakobianem nazywa się wyznacznik (kwadratowej) macierzy Jacobiego.

Jakobian oznacza się symbolami^[2]: $\det 𝐉_{f},$ $| 𝐉_{f} |,$ $\frac{\partial (f_{1}, \dots, f_{n})}{\partial (x_{1}, \dots, x_{n})} \overset{o z n}{=} \frac{\partial f}{\partial x} .$

Przykłady

Przykład 1: Jakobian 2 × 2

Dla funkcji $𝐟 = [f_{1}, f_{2}] : ℝ^{2} \to ℝ^{2},$ takiej że

f_{1} (x, y) = x^{2} + x y^{3},

f_{2} (x, y) = x y + 1

jakobian wynosi

\begin{matrix} \det 𝐉_{f} & = | \begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \frac{\partial (x^{2} + x y^{3})}{\partial x} & \frac{\partial (x^{2} + x y^{3})}{\partial y} \\ \frac{\partial (x y + 1)}{\partial x} & \frac{\partial (x y + 1)}{\partial y} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 2 x + y^{3} & 3 x y^{2} \\ y & x \end{matrix} | \\ = 2 x^{2} + x y^{3} - 3 x y^{3} = 2 x^{2} - 2 x y^{3} \end{matrix} .

Przykład 2: Jakobian nie istnieje

Dla funkcji $𝐟 : ℝ^{3} \to ℝ^{4}$ o 4 funkcjach składowych $𝐟 (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1}, 5 x_{3}, 4 x_{2}^{2} - 2 x_{3}, x_{3} \sin x_{1}),$ tj.

y_{1} = x_{1},

y_{2} = 5 x_{3},

y_{3} = 4 x_{2}^{2} - 2 x_{3},

y_{4} = x_{3} \sin x_{1} .

a) macierz Jacobiego ma postać

𝐉_{𝐟} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = [\begin{matrix} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial y_{3}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{3}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial y_{3}}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial y_{4}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{4}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial y_{4}}{\partial x_{3}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8 x_{2} & - 2 \\ x_{3} \cos x_{1} & 0 & \sin x_{1} \end{matrix}] .

Przykład ten pokazuje, że macierz Jacobiego nie musi być kwadratowa.

b) Jakobian nie istnieje, ponieważ macierz nie jest kwadratowa.

Przykład 3: Ujemny znak jakobianu

Dla funkcji o składowych

y_{1} = 5 x_{2},

y_{2} = 4 x_{1}^{2} - 2 \sin (x_{2} x_{3}),

y_{3} = x_{2} x_{3}

jakobian ma wartość

| \begin{matrix} 0 & 5 & 0 \\ 8 x_{1} & - 2 x_{3} \cos (x_{2} x_{3}) & - 2 x_{2} \cos (x_{2} x_{3}) \\ 0 & x_{3} & x_{2} \end{matrix} | = - 8 x_{1} | \begin{matrix} 5 & 0 \\ x_{3} & x_{2} \end{matrix} | = - 40 x_{1} x_{2} .

Gdy znak jakobianu jest ujemny, to funkcja $𝐟$ zmienia orientację (jest tak w otoczeniu punktów, które mają ten sam znak); funkcja jest lokalnie odwracalna dla punktów $R - {0, 0} .$

Różniczkowy element powierzchni

Twierdzenie o całce po powierzchni

Element powierzchni w starych współrzędnych = element powierzchni w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.

Przykład: Transformacja współrzędnych biegunowych na kartezjańskie

Transformacja ze współrzędnych biegunowych $r, ϕ$ do kartezjańskich $x, y$ dana jest z pomocą funkcji $f : R^{+} \times [0, 2 π) \to R^{2}$ o 2 funkcjach składowych

f_{1} \equiv x = r \cos φ,

f_{2} \equiv y = r \sin φ .

a) Macierz Jacobiego ma postać

𝐉_{𝐟} (r, φ) = [\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial φ} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial φ} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos φ & - r \sin φ \\ \sin φ & r \cos φ \end{matrix}] .

b) Jakobian

| 𝐉_{𝐟} | = r .

c) Różniczkowy element powierzchni

Jakobianu można użyć do zamiany zmiennych całkowania z układu kartezjańskiego na biegunowy, np.

\iint_{f (A)} f (x, y) d x d y = \iint_{A} f (r \cos φ, r \sin φ) r d r d φ .

Różniczkowy element objętości

Twierdzenie o całce po objętości

Element objętości w starych współrzędnych = element objętości w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.

Przykład: Transformacja współrzędnych sferycznych na kartezjańskie

Przejście ze współrzędnych sferycznych $(r, θ, φ)$ na kartezjańskie $(x, y, z)$ dane jest za pomocą funkcji $𝐟 : R^{+} \times [0, π) \times [0, 2 π) \to R^{3}$ o 3 funkcjach składowych

x = r \sin θ \cos φ,

y = r \sin θ \sin φ,

z = r \cos θ .

a) Macierz Jacobiego ma postać

𝐉_{𝐟} (r, θ, φ) = [\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial θ} & \frac{\partial x}{\partial φ} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial θ} & \frac{\partial y}{\partial φ} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial θ} & \frac{\partial z}{\partial φ} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \sin θ \cos φ & r \cos θ \cos φ & - r \sin θ \sin φ \\ \sin θ \sin φ & r \cos θ \sin φ & r \sin θ \cos φ \\ \cos θ & - r \sin θ & 0 \end{matrix}] .

b) Wyznacznik tej macierzy wynosi

| 𝐉_{𝐟} | = r^{2} \sin θ .

Widać, że jakobian zmienia się w zależności od współrzędnych $r, θ .$

c) Różniczkowy element objętości

W układzie kartezjańskim element różniczkowy objętości ma postać

d V = d x d y d z .

Przechodząc do układu współrzędnych sferycznych różniczkowy element objętości nie zmieni się, jeżeli pomnoży się go przez jakobian, tj.

d V = | 𝐉_{𝐟} | d r d φ d θ = r^{2} \sin θ d r d φ d θ .

Np. wykonując całkowanie funkcji $f (x, y, z)$ przy zamianie zmiennych na współrzędne sferyczne należy

zmienne $x, y, z$ wyrazić przez zmienne $r, φ, θ,$
element objętości $d V = d x d y d z$ wyrazić przez równy mu element $d V = r^{2} \sin θ d r d φ d θ .$

Związek macierzy Jacobiego z pochodną Frécheta

Szablon:Zobacz też (1) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jej pochodna dana jest za pomocą macierzy Jacobiego. Dokładniej, jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie $p \in U,$ to macierzą przekształcenia liniowego, którym jest jej pochodna Frécheta $D f (p),$ jest macierz Jacobiego $𝐉_{f} (p)$ funkcji $f$ w punkcie $p .$

(2) Macierz Jacobiego jest kwadratowa, gdy pochodna jest endomorfizmem; jeśli jest odwracalna (jej wyznacznik jest odwracalny), to pochodna jest izomorfizmem. Więcej: niezdegenerowanie jakobianu gwarantuje, że funkcja jest różniczkowalna w sensie Frécheta w sposób ciągły (tzn. pochodna jest ciągła) – mówi się wtedy, że jest ona klasy $𝒞^{1} .$

(3) Funkcja $f$ nie musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie $p,$ by macierz Jacobiego $𝐉_{f} (p)$ była określona – wymaga się jedynie istnienia pochodnych cząstkowych funkcji $f$ w punkcie $p .$ Oznacza to, że funkcja $f$ jest różniczkowalna co najwyżej w dowolnym kierunku, tzn. w sensie Gâteaux, czyli dla dowolnego $𝐯$ istnieją pochodne $\frac{\partial f}{\partial 𝐯} (p) .$

(4) Gradient, jak i macierz Jacobiego można traktować jak „pierwsze pochodne” funkcji:

macierz Jacobiego jest pierwszą pochodną funkcji wektorowej wielu zmiennych,
gradient jest pochodną funkcji skalarnej wielu zmiennych (gradient można uważać za szczególny przypadek macierzy Jacobiego).

(5) Macierz Jacobiego gradientu nazywana jest macierzą Hessego (hesjan) – jest to w pewnym sensie „druga pochodna” funkcji skalarnej wielu zmiennych.