Odwzorowanie styczne

Jeżeli $\phi$ jest funkcją z rozmaitości $M$ w rozmaitość $N,$ to odwzorowanie styczne funkcji $\phi$ przeprowadza wektory z przestrzeni stycznej $T_{x}M$ rozmaitości $M$ w przestrzeń styczną $T_{\phi (x)}N$ rozmaitości $N.$

Odwzorowanie styczne – uogólnienie pochodnej funkcji wielu zmiennych na rozmaitości różniczkowe.

Odwzorowanie styczne w punkcie

Niech $M$ i $N$ będą rozmaitościami różniczkowymi klasy $C^k,$ $k⩾1,$ wymiaru odpowiednio $m$ i $n.$ Niech $F:M\to N$ będzie funkcją klasy $C^k.$

Odwzorowaniem styczym do $F$ w punkcie $p\in M$ nazywamy odwzorowanie między przestrzeniami stycznymi rozmaitości $M$ i $N,$ $d_{p}F:T_p(M)\to T_{F(p)}(N),$ zdefiniowane wzorem:

$d_{p}F({\gamma }^{\prime }(0))=(F\circ \gamma {)}^{\prime }(0)$

gdzie ${\gamma }^{\prime }(0)$ oznacza wektor styczny do krzywej $\gamma$ przechodzącej przez punkt $p,$ czyli klasę abstrakcji krzywej $\gamma ,$ względem relacji $\sim$ z definicji przestrzeni stycznej.

Komentarz

Odwzorowanie styczne w ustalonym punkcie jest odwzorowaniem liniowym i jest zwane różniczką funkcji $F$ w punkcie $p.$

Odwzorowanie styczne

Odwzorowaniem styczym do $F$ nazywamy odwzorowanie między wiązkami stycznymi rozmaitości $M$ i $N,$ $TF:T(M)\to T(N),$ zdefiniowane wzorem:

$TF(p,X)=(F(p),d_{p}F(X))$

gdzie $p\in M$ oraz $X\in T_{p}M.$ Odzworowanie styczne jest funkcją klasy $C^{k-1}.$

Zobacz też

• odwzorowanie kostyczne

Bibliografia

• Wojciech Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, 1986.