Funkcja uwikłana

Funkcja uwikłana – funkcja jednej lub wielu zmiennych, która nie jest przedstawiona jako jawna zależność w rodzaju $y=f(x),$ ale jako pewne równanie pomiędzy wieloma zmiennymi przedstawione jako $F(x,y)=0$.

Definicja

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami unormowanymi, $D\subseteq X\times Y$ oraz $f:D\to Y$ będzie ciągła. Każdą funkcję $\phi :U\to Y,$ gdzie $U$ jest pewnym podzbiorem $X,$ spełniającą dla każdego $x\in U$ równanie $f(x,\phi (x))=0$ nazywamy funkcją uwikłaną funkcji $f$ albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie $f(x,y)=0.$

Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania $f(x,y)=0$ względem $y.$

Przykłady

• Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpo­wiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta $x$ tego punktu równa jest $x=r\cdot (t-\sin t).$ Parametr $t$ oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość $t$ utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej $x$ odpowiada innej chwili $t.$ Można więc mówić o funkcji $\phi ,$ która przypisuje każdej pozycji punktu $x$ cykloidy wartość $t$ – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji $x.$ Funkcja $\phi$ nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci $t=\phi (x)$ jest to funkcja uwikłana przez równanie $x=r\cdot (t-\sin t).$

• Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprze­wodni­kowej. Niech $U$ oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś $I$ natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe $I,$ zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: $U=U_d+U_r.$ Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem $U_r$ na oporniku i płynącym przezeń prądem  $I,$

$I=\frac{U_r}{R},$

gdzie $R$ oznacza wartość rezystancji.

Związek pomiędzy napięciem $U_d$ panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya:

$I=I_S\cdot (e^{\frac{U_d}{c}}-1),$

w którym $I_S,c$ – stałe charakte­rystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś $e$ – podstawa logarytmu naturalnego.

Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:

$U_r=I\cdot R,$

$U_d=c\cdot \ln (\frac{I}{I_S}+1)$

To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem $U$ przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu $I$

$U=I\cdot R+c\cdot \ln (\frac{I}{I_S}+1)$ $(\star ).$

Natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem – jest to funkcja uwikłana określona przez równanie $(\star ).$

Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej

Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji $y=\phi (x),$ która jest określona w pewnym otoczeniu punktu $x=x_0,$ spełnia w tym otoczeniu warunek $f(x,\phi (x))=0$ oraz $\phi (x_0)=y_0.$ Jest to możliwe tylko wtedy, gdy $x_0$ i $y_0$ są tak dobrane, że $f(x_0,y_0)=0.$ Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli $D\subseteq X\times Y$ jest zbiorem otwartym, a $f:D\to Y$ funkcją klasy $C_1$ i dla pewnego punktu $(x_0,y_0)\in D$

$f(x_0,y_0)=0$ oraz pochodna cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\in \mathrm{Isom}(Y;Y),$

to istnieją liczby $\delta >0$ i $\eta >0$ oraz funkcja $\phi :k(x_0,\delta )\to k(y_0,\eta )$ klasy $C_1,$ że

1. $k(x_0,\delta )\times k(y_0,\eta )\subseteq D,$
2. dla każdego punktu $x\in k(x_0,\delta )$ jedynym punktem $y\in k(y_0,\eta )$ spełniającym równanie $f(x,y)=0$ jest punkt $y=\phi (x).$

Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.

Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami Banacha, $D\subseteq X\times Y$ będzie zbiorem otwartym oraz $f:D\to Y$ funkcją klasy $C_1$ taką, że różniczka cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\in \mathrm{Isom}(Y;Y)$ dla każdego $(x,y)\in D.$ Dalej niech dana będzie funkcja ciągła $\psi :U\to Y,$ gdzie $U$ jest podzbiorem otwartym przestrzeni $X.$ Jeżeli dla każdego $x\in U$

$(x,\psi (x))\in D$ oraz $f(x,\psi (x))=0,$

to $\psi$ jest funkcją klasy $C_1$ i dla każdego $x\in U$ różniczka:

$d\psi (x)=-{(\frac{\partial f}{\partial y}(x,\psi (x)))}^{-1}\circ \frac{\partial f}{\partial x}(x,\psi (x)).$

Funkcje rzeczywiste

Niech $D\subseteq {ℝ}^2$ będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja $f:D\to ℝ$ jest klasy $C_1$ i dla pewnego punktu $(x_0,y_0)\in D$ spełnia warunki:

$f(x_0,y_0)=0$ oraz $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\ne 0,$

to w pewnym otoczeniu punktu $x_0$ istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła $y=\phi (x),$ spełniająca warunki $y_0=\phi (x_0)$ oraz $f(x,\phi (x))=0$ dla $x$ z tego otoczenia.

Ponadto jeśli w otoczeniu punktu $(x_0,y_0)$ istnieje ciągła pochodna cząstkowa $\frac{\partial f}{\partial x},$ to funkcja uwikłana $y=\phi (x)$ ma ciągłą pochodną daną wzorem

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}.$

Inne twierdzenia

Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:

Niech $X,Y,Z$ będą przestrzeniami Banacha, $U\subseteq X,V\subseteq Y$ będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli $\phi :U\to V,\psi :V\to Z$ są funkcjami klasy $C_1$ takimi, że

1. $\phi (0)=0,\psi (0)=0,$
2. $\psi \circ \phi \equiv 0,$
3. $\mathrm{im}d\phi (0)=\ker d\psi (0)$
4. $\mathrm{im}d\psi (0)$ jest zbiorem domkniętym

wówczas istnieje takie otoczenie zera $W\subseteq V,$ że

${\psi }^{-1}(0)\cap W=\phi (U)\cap W.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę