Pochodna cząstkowa

Pochodna cząstkowa – dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie np. w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

Pochodne cząstkowe funkcji $f$ względem zmiennej $x$ oznacza się symbolami

$\frac{\partial f}{\partial x},f{\text{'}}_x,f_x\text{ lub }{\partial }_{x}f.$

Symbol pochodnej cząstkowej ∂ ma wygląd zaokrąglonej litery „d”.

Historia

Pochodne cząstkowe nie wywodzą się, jak można przypuszczać, z funkcji wielu zmiennych, ale były efektem badań rodziny krzywych zależnych od badanego parametru. Leibniz w 1692 roku, rozwiązał problem obwiedni dla rodziny krzywych $V(x,y,a)=0,$ pokazując, że można usunąć $a$ z równania uzyskując $\frac{\partial }{\partial a}V(x,y,a)=0$ (używając współczesnej notacjiSzablon:Odn).

Współczesna notacja, użyta została po raz pierwszy przez Adriena-Marie Legendre’a, stała się powszechna po jej ponownym wprowadzeniu przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego; z tej przyczyny bywa określana jako „delta Jacobiego”.

Wprowadzenie

Wykres funkcji $z=f(x,y)=x^2+xy+y^2$

Wartość z w zależności od x, dla y=1 $(z=f(x)=x^2+x+1)$

Niech $f$ będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo

$z=f(x,y)=x^2+xy+y^2.$

Wykres tej funkcji określa powierzchnię w przestrzeni euklidesowej. Istnieje nieskończenie wiele stycznych do każdego punktu tej powierzchni. Różniczkowanie cząstkowe polega na wybraniu jednej z tych prostych i uzyskaniu jej nachylenia. Zwykle najbardziej interesujące są proste, które są równoległe do płaszczyzny $xz$ czy $yz.$

Aby znaleźć nachylenie prostej stycznej do funkcji w $(1,1,3),$ która jest równoległa do płaszczyzny $xz$ należy traktować zmienną $y$ jak stałą. Wykres i wspomnianą płaszczyznę przedstawiono na rys. 1. Z kolei rys. 2. przedstawia wykres funkcji na płaszczyźnie $y=1.$ Szukając pochodnej wspomnianego równania przy założeniu, że $y$ jest stała, uzyskuje się nachylenie funkcji $f$ w punkcie $(x,y,z),$ którym jest

$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y.$

W ten sposób okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie $(1,1,3)$ wynosi $3.$ Dlatego

$\frac{\partial z}{\partial x}=3$

w punkcie $(1,1,3).$ Innymi słowy pochodna cząstkowa $z$ względem $x$ w punkcie $(1,1,3)$ jest równa $3.$

Definicja

Niech $U$ będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^n$ i dane będą punkt $\mathrm{a}=(a_1,\dots ,a_n)$ oraz funkcja $f:U\to ℝ.$

Jeżeli istnieje skończona granica

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,\dots ,a_k+h,\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_k,\dots ,a_n)}{h},$

to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji $f$ w punkcie $\mathrm{a}$ względem zmiennej $a_k$ i oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.

Związek z pochodną zupełną

Jeżeli oznaczyć $g(a_k)=f(a_1,\dots ,a_k,\dots ,a_n),$ to

$f{\text{'}}_x(a_1,\dots ,a_k,\dots ,a_n)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(a_k+h)-g(a_k)}{h}$

jest po prostu pochodną $g^{\prime }(a_k)$ funkcji $g.$

Na przykład dla funkcji

$f(x,y)=x^3+3xy-y^2$

można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych $x$ i $y:$

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=f{\text{'}}_x(x,y)=3x^2+3y,$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=f{\text{'}}_y(x,y)=3x-2y.$

Pochodne wyższych rzędów

Pochodne wyższych rzędów oblicza się, różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo są znane jako pochodne mieszane.

Pochodne czyste

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x,y)=f^{\prime }{\text{'}}_{xx}(x,y)=\frac{\partial }{\partial x}(3x^2+3y)=6x,$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x,y)=f^{\prime }{\text{'}}_{yy}(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}(3x-2y)=-2$

i pochodne mieszane (różniczkowania zależnie od umowy należy wykonywać, tak jak w tym artykule, od lewej strony do prawej; bądź też, podobnie jak przy składaniu funkcji, od prawej do lewej)

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=f^{\prime }{\text{'}}_{yx}(x,y)=\frac{\partial }{\partial x}(3x-2y)=3,$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)=f^{\prime }{\text{'}}_{xy}(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}(3x^2+3y)=3.$

Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ilekrotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.

Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)$

jest pochodną rzędu $2.$

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów zapisuje się także z użyciem notacji wielowskaźnikowej. Wtedy przez $D^{\alpha }f,$ gdzie $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ jest wielowskaźnikiem rozumie się

$D^{\alpha }f(x_1,\dots ,x_n)=\frac{{\partial }^{{\alpha }_1}}{\partial x_1}\dots \frac{{\partial }^{{\alpha }_n}}{\partial x_n}f(x_1,\dots ,x_n).$

Rząd tej pochodnej cząstkowej wynosi oczywiście $|\alpha |={\alpha }_1+\dots +{\alpha }_n.$

Zobacz też

• dywergencja, rotacja
• gradient
• macierz Jacobiego
• operator Laplace’a
• operator d’Alemberta
• pochodna kierunkowa
• pochodna zewnętrzna
• pochodna zupełna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę