Operator d’Alemberta

Operator d’Alemberta (dalambercjan) – operator różniczkowy II rzędu definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora Laplace’a $\mathrm{\Delta }$ definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej.

Operator ten jest oznaczany symbolem $◻$ „kwadrat” (rzadziej używane jest oznaczenie ${◻}^2$). Wykorzystywany m.in. do zwięzłego zapisu równania falowego klasycznej elektrodynamiki czy równania Kleina-Gordona elektrodynamiki kwantowej.

Przyjmując sygnaturę metryki $(-+++)$ czasoprzestrzeni, operator ten wyrazimy za pomocą jego składowych.

Współrzędne $t,x,y,z$

We współrzędnych $t,x,y,z$ operator d’Alemberta ma postać

$◻=\mathrm{△}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2},$

gdzie:

$\mathrm{△}$ – operator Laplace’a,

$c$ – prędkość światła w próżni.

Po rozpisaniu operatora Laplace’a otrzyma się

$◻=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}.$

Współrzędne $x^0,x^1,x^2,x^3$

We współrzędnych $x^0=ct,x^1=x,x^2=y,x^3=z$ mamy:

$◻=-\frac{{\partial }^2}{\partial (x^0{)}^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial (x^1{)}^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial (x^2{)}^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial (x^3{)}^2}.$

Zapis skrócony

Operator d’Alemberta zapisuje się za pomocą iloczynu skalarnego czterogradientu – przy czym iloczyn skalarny w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni definiuje się jako sumę iloczynów współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych, tj.

$◻={\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu },$

gdzie:

${\partial }_{\mu }\equiv {}_{,\mu }\equiv \frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=({\partial }_0,{\partial }_1,{\partial }_2,{\partial }_3)=({\partial }_0,\overrightarrow{\mathrm{\nabla }})$ – składowe kowariantne 4-gradientu,

${\partial }^{\mu }\equiv {}^{,\mu }\equiv \frac{\partial }{\partial x_{\mu }}=({\partial }^0,{\partial }^1,{\partial }^2,{\partial }^3)=(-{\partial }_0,\overrightarrow{\mathrm{\nabla }})$ – składowe kontrawariantne 4-gradientu.

Wstawiając współrzędne, otrzyma się

$◻={\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }=\mathrm{\Delta }-({\partial }_0{)}^2,$

przy czym

$\mathrm{\Delta }={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2,$

$({\partial }_0{)}^2=\frac{{\partial }^2}{\partial (x^0{)}^2}.$

Zastosowania

Teoria drgań

Równanie falowe np. dla małych drgań (poziomej) struny

$◻u(x,t)\equiv u_{xx}-\frac{1}{c^2}{u}_{tt}=0,$

gdzie:

$u$ – przemieszczenie (w pionie) struny od położenia równowagi,

$x$ – współrzędna położenia punktu na strunie,

$t$ – czas.

Elektrodynamika klasyczna

Równanie falowe fali elektromagnetycznej w próżni

$◻A^{\mu }=0,$

gdzie $A^{\mu }$ – czteropotencjał pola elektromagnetycznego.

Elektrodynamika kwantowa

Równanie Kleina-Gordona

$(◻+m^2)\psi =0.$

Zobacz też

1. Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

• czterogradient
• czterowektor (tu m.in. na temat iloczynu skalarnego 4-wektorów)

2. Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

• dywergencja
• gradient
• operator Laplace’a
• operator nabla
• rotacja

3. Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej

• dywergencja na rozmaitości
• gradient na rozmaitości
• operator Laplace’a na rozmaitości

Bibliografia

• David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, 2017.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp D'Alembert operator Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].