Czterowektor

Szablon:Konwencja sumacyjnaCzterowektor – wektor o czterech współrzędnych $A^{\alpha }=(A^0,A^1,A^2,A^3)$ należący do czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową (dokładniej przestrzenią wektorową pseudoeuklidesową).

Archetypem wszystkich 4-wektorów jest 4-wektor położenia. Na jego podstawie definiuje się wszystkie inne 4-wektory.

Definicja 4-wektora kontrawariantnego

Nie każdy zespół 4 liczb można nazwać 4-wektorem. Aby tak było, musi być spełniony istotny warunek: 4 liczby otrzymane z pomiarów wykonanych przez różnych obserwatorów $O$ oraz $O^{\prime }$ mierzących daną wielkość fizyczną na tym samym obiekcie i w tej samej sytuacji fizycznej (np. pomiar energii-pędu tej samej cząstki, która mija tę samą bramkę) muszą być ze sobą ściśle związane. W szczególności, jeżeli obserwator $O^{\prime }$ porusza się względem obserwatora $O$ z prędkością $v$ w kierunku osi $x,$ to związki te zadane są przez transformację Lorentza:

$A^{\text{'}0}=\gamma (A^0-\frac{v}{c}{A}^1),$

$A^{\text{'}1}=\gamma (A^1-\frac{v}{c}{A}^0),$

$A^{\text{'}2}=A^2,$

$A^{\text{'}3}=A^3,$

gdzie:

• $A^{\alpha }=(A^0,A^1,A^2,A^3)$ – wyniki pomiarów obserwatora $O,$
• $A^{\text{'}\alpha }=(A^{\text{'}0},A^{\text{'}1},A^{\text{'}2},A^{\text{'}3})$ – wyniki pomiarów obserwatora $O^{\prime },$
• $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},$
• $c$ – prędkość światła (zgodnie ze Szczególną Teorią Względności Einsteina identyczna dla każdego obserwatora).

Liczbę $A^0$ nazywa się współrzędną czasową.

Liczby $A^1,A^2,A^3$ nazywa się współrzędnymi przestrzennymi.

Czterowektor zapisany z górnymi indeksami nazywa się 4-wektorem kontrawariantnym.

Czterowektor kontrawariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

$A^{\alpha }=(A^0,\overrightarrow{A}),$

gdzie $\overrightarrow{A}=(A^1,A^2,A^3)=(A_x,A_y,A_z)$ – wektor o współrzędnych przestrzennych.

Definicja 4-wektora kowariantnego

Ponadto definiuje się czterowektor z dolnymi indeksami – nazywa się je 4-wektorami kowariantnymi.

Wektory kowariantne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem Minkowskiego – patrz niżej) różnią się od kontrawariantnych znakiem współrzędnych przestrzennych, tj.

$A_{\alpha }=(A_0,A_1,A_2,A_3)$ – wektor kowariantny

oraz

$A_0=A^0,A_1=-A^1,A_2=-A^2,A_3=-A^3.$

Czterowektor kowariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci

$A_{\alpha }=(A_0,-\overrightarrow{A}),$

gdzie $\overrightarrow{A}=(A^1,A^2,A^3)=(A_x,A_y,A_z)$ – wektor (kontrawariantny) o współrzędnych przestrzennych.

Uwaga: Ogólna transformacja Lorentza może być reprezentowana za pomocą macierzy 4x4 Λ. Wtedy działanie transformacji Lorentza na 4-wektor kontawariantny A, reprezentowany w postaci wektora kolumnowego, jest dana za pomocą mnożenia macierzy przez wektor.

4-wektory w postaci kowariantnej przedstawia się wtedy w postaci wierszowej; takie wektory transformują się za pomocą mnożenia przez macierz transponowaną względem macierzy odwrotnej do macierzy Lorentza Λ.

Zasada opuszczania wskaźników 4-wektora

Aby otrzymać współrzędne kowariantne 4-wektora, należy pomnożyć współrzędne kontrawariantne przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej (rozważanej np. w Ogólnej Teorii Względności), związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą tensora metrycznego $g_{\alpha \beta }:$

$A_{\alpha }=g_{\alpha \beta }{A}^{\beta },$

przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku, przyjmując $\beta =0,1,2,3.$

W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać (oznaczaną tu symbolem ${\eta }_{\alpha \beta }$)

${\eta }_{\alpha \beta }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right).$

Dlatego opuszczanie wskaźnika sprowadza się tu do zmiany znaku przy współrzędnej przestrzennej kontrawariantnej.

Zasada podnoszenia wskaźników 4-wektora

Aby otrzymać współrzędne kontrawariantne 4-wektora, mając współrzędne kowariantne, należy te ostatnie pomnożyć przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą postaci kontrawariantnej tensora metrycznego $g^{\alpha \beta }:$

$A^{\alpha }=g^{\alpha \beta }{A}_{\beta },$

przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku, przyjmując $\beta =0,1,2,3.$

W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny kontrawariantny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać identyczną jak tensor kowariantny (oznaczaną tu symbolem ${\eta }^{\alpha \beta }$), czyli

${\eta }_{\alpha \beta }={\eta }^{\alpha \beta }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right).$

Podnoszenie wskaźnika sprowadza się więc do zmiany znaku przy współrzędnych przestrzennych kowariantnych

$A^0=A_0,A^1=-A_1,A^2=-A_2,A^3=-A_3.$

Długość 4-wektora

Czterowektory są obiektami geometrycznymi. Z tej racji np. ich długość obliczona w różnych układach odniesienia musi dać tę samą wartość. Kwadrat długości 4-wektora wyrażają 3 równoważne wzory:

$||𝐀|{|}^2=A_{\alpha }{A}^{\alpha },$

$||𝐀|{|}^2=g_{\alpha \beta }{A}^{\alpha }{A}^{\beta }$ lub

$||𝐀|{|}^2=g^{\alpha \beta }{A}_{\alpha }{A}_{\beta },$

przy czym sumuje się po powtarzających się wskaźnikach, przyjmując $\alpha ,\beta =0,1,2,3.$

Pierwszy wzór zapisany bez konwencji sumacyjnej Einsteina ma 4 składowe, a ostatnie dwa zawierają w ogólności po 16 składowych.

W płaskiej czasoprzestrzeni powyższe wzory na kwadrat długości 4-wektora sprowadzają się do postaci

• $A_{\alpha }{A}^{\alpha }=A_0{A}^0+A_1{A}^1+A_2{A}^2+A_3{A}^3,$
• ${\eta }^{\alpha \beta }{A}_{\alpha }{A}_{\beta }=A_0{A}_0-A_1{A}_1-A_2{A}_2-A_3{A}_3,$
• ${\eta }_{\alpha \beta }{A}^{\alpha }{A}^{\beta }=A^0{A}^0-A^1{A}^1-A^2{A}^2-A^3{A}^3$

lub

• ${\eta }_{\alpha \beta }{A}^{\alpha }{A}^{\beta }=(A^0{)}^2-(A^1{)}^2-(A^2{)}^2-(A^3{)}^2.$

Z ostatniego wzoru widać, iż długość 4-wektora w czasoprzestrzeni nie wyraża się przez uogólniony wzór na długość wektora znany z geometrii Euklidesowej (w którym mielibyśmy sumę kwadratów współrzędnych); czasoprzestrzeń jest bowiem przestrzenią pseudoeuklidesową. W szczególności długości 4-wektorów mogą mieć wartości mniejsze od zera.

Klasyfikacja 4-wektorów.

Ze względu na długość 4-wektory dzieli się na:

• czasowe – gdy $A_{\alpha }{A}^{\alpha }>0,$
• zerowe – gdy $A_{\alpha }{A}^{\alpha }=0,$
• przestrzenne – gdy $A_{\alpha }{A}^{\alpha }<0.$

Powyższe własności 4-wektorów są niezależne od układu odniesienia, gdyż: dokonując transformacji Lorentza danego 4-wektora do innego układu, otrzyma się inne współrzędne, ale jego długość nie zmieni się. Mówi się, że powyższe własności długości 4-wektorów są Lorentzowsko niezmiennicze. Np. 4-wektor czasowy w jednym układzie będzie wektorem czasowym w każdym układzie odniesienia.

Iloczyn skalarny czterowektorów

Iloczyn skalarny 4-wektorów definiuje się następująco:

$𝐀𝐁=A_{\alpha }{B}^{\alpha },$

$𝐀𝐁=g_{\alpha \beta }{B}^{\alpha }{A}^{\beta }$ lub

$𝐀𝐁=g^{\alpha \beta }{B}_{\alpha }{A}_{\beta }.$

Tak zdefiniowany Iloczyn skalarny jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza. Gdy $𝐀=𝐁,$ to powyższe wzory sprowadzają się do wzorów na długość 4-wektora, podane wyżej.

Kolejność czasowa zdarzeń. Związki przyczynowo-skutkowe

Niezmienniczość podziału 4-wektorów na czasowe, zerowe i przestrzenne prowadzi do wniosków:

(1) Tylko wtedy, gdy dwa zdarzenia są oddzielone czasowym lub zerowym interwałem czasoprzestrzennym, to można o jednym z nich powiedzieć, iż jest wcześniejsze niż drugie; i to zdarzenie wcześniejsze może (ale nie musi) mieć wpływ na zdarzenie późniejsze

Uwaga: Zdarzenie wcześniejsze wywrze wpływ na zdarzenie późniejsze, gdy podczas zajścia zdarzenia wcześniejszego nastąpi emisja pola fizycznego, które poruszając się z prędkością światła dotrze do zdarzenia późniejszego i ponadto wywrze na nie wpływ.

(2) Zdarzenia oddzielone interwałem przestrzennym nie mogą mieć wpływu na siebie, gdyż żadne oddziaływanie, nawet poruszające się z prędkością światła, nie jest w stanie dotrzeć od jednego ze zdarzeń do drugiego; takim zdarzeniom nie można przypisać też absolutnej kolejności czasowej.

Czterowektor położenia w czasoprzestrzeni

Definicja 4-wektora położenia

Czterowektorem położenia w czasoprzestrzeni nazywamy 4-wektor o postaciach:

• postać kontrawariantna (o górnych wskaźnikach)

$x^{\mu }=(x^0,x^1,x^2,x^3)\equiv (ct,x,y,z)\equiv (ct,\overrightarrow{r}),$

• postać kowariantna (o dolnych wskaźnikach)

$x_{\mu }=(x_0,x_1,x_2,x_3)\equiv (ct,-x,-y,-z)\equiv (ct,-\overrightarrow{r}).$

Współrzędna $x^0=ct$ – tzw. współrzędna czasowa, $x^1,x^2,x^3$ – tzw. współrzędne przestrzenne.

Uwaga:

Współrzędna czasowa 4-wektora położenia ma wymiar długości, podobnie jak pozostałych współrzędnych czterowektora (jest równa czasowi wyrażonemu w sekundach x prędkość światła w próżni, czyli jej wymiarem jest metr).

Sens fizyczny 4-wektora położenia

Czterowektor położenia opisuje czas oraz położenie przestrzenne zajścia jakiegoś zdarzenia w czasoprzestrzeni, przy czym przez zdarzenie rozumie się jakieś krótkotrwałe zjawisko, np. fakt mijania słupka przez cząstkę – zjawisko to zachodzi w chwili $t$ w położeniu $\overrightarrow{r}=(x,y,z),$ co obserwator $O$ opisuje za pomocą czterowektora $x^{\mu }=(ct,x,y,z).$

Własności transformacyjne 4-wektora położenia

Temu samemu zdarzeniu inny obserwator $O^{\prime }$ przypisze własny czterowektor $x^{\text{'}\mu }=(c{t}^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }),$ zawierający wyniki pomiaru czasu i położenia dokonane względem jego układu odniesienia i za pomocą jego własnego zegara. Zespoły liczb otrzymane przez różnych obserwatorów będą na ogół różnić się – jeżeli np. obserwatorzy są w ruchu względem siebie. Jednak wykonując pomiary wielu zdarzeń i porównując je ze sobą, obserwatorzy stwierdzą, że zachodzą między ich wynikami ścisłe zależności. W najprostszym przypadku, gdy obserwator $O^{\prime }$ porusza się względem obserwatora $O$ z prędkością $v$ w kierunku osi $x$ – przy czym $v$ oznacza tu współrzędną wektora prędkości – to związki te zadane są przez tzw. transformację Lorentza:

$c{t}^{\prime }=\gamma (ct-\frac{v}{c}x),$

$x^{\prime }=\gamma (x-\frac{v}{c}ct),$

$y^{\prime }=y,$

$z^{\prime }=z.$

Zapisując współrzędne w postaci $x^{\mu }=(x^0,x^1,x^2,x^3),$ transformacje Lorentza mają bardziej symetryczną postać

$x^{\text{'}0}=\gamma (x^0-\frac{v}{c}{x}^1),$

$x^{\text{'}1}=\gamma (x^1-\frac{v}{c}{x}^0),$

$x^{\text{'}2}=x^2,$

$x^{\text{'}3}=x^3.$

Aby otrzymać transformację odwrotną, wystarczy do powyższej transformacji podstawić zamiast $v$ symbol $-v$ i zamienić symbole primowane z nieprimowanymi:

$ct=\gamma (c{t}^{\prime }+\frac{v}{c}{x}^{\prime }),$

$x=\gamma (x^{\prime }+\frac{v}{c}c{t}^{\prime }),$

$y=y^{\prime },$

$z=z^{\prime }.$

Uwaga: Współrzędne każdego innego 4-wektora poddane transformacji Lorentza muszą dać współrzędne tego 4-wektora w nowym układzie. Nie każdy zespół 4 liczb będzie więc 4-wektorem.

Interwał czasoprzestrzenny zdarzeń

Definicja

Df. Interwałem czasoprzestrzennym zdarzeń nazywa się długość różnicy dwóch czterowektorów, opisujących dwa zdarzenia w czasoprzestrzeni.

Interwał jest analogiem odległości w zwykłej przestrzeni.

Niezmienniczość interwału

Tw. Interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.

Dowód:

(1) Rozważmy dwa zdarzenia $A$ oraz $B$ zachodzące w czasoprzestrzeni, np. $A$ – cząstka mija bramkę, $B$ – następuje eksplozja supernowej. Obserwator $O$ przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń

$R_A(c{t}_A,x_A,y_A,z_A),$

$R_B(c{t}_B,x_B,y_B,z_B).$

Różnica czterowektorów jest czterowektorem $R_A-R_B,$ którego długość, czyli interwał w płaskiej czasoprzestrzeni wynosi

$(\mathrm{\Delta }s{)}^2=(R_B-R_A{)}^2=(c{t}_B-c{t}_A{)}^2-(x_B-x_A{)}^2-(y_B-y_A{)}^2-(z_B-z_A{)}^2.$

(2) Obserwator $O^{\prime }$ przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń

$R_A(c{t_A}^{\prime },{x_A}^{\prime },{y_A}^{\prime },{z_A}^{\prime }),$

$R_B(c{t_B}^{\prime },{x_B}^{\prime },{y_B}^{\prime },{z_B}^{\prime }).$

Obliczając interwał w płaskiej czasoprzestrzeni, otrzyma

$(\mathrm{\Delta }{s}^{\prime }{)}^2=({R_B}^{\prime }-{R_A}^{\prime }{)}^2=(c{t_B}^{\prime }-c{t_A}^{\prime }{)}^2-({x_B}^{\prime }-{x_A}^{\prime }{)}^2-({y_B}^{\prime }-{y_A}^{\prime }{)}^2-({z_B}^{\prime }-{z_A}^{\prime }{)}^2.$

(3) Ponieważ współrzędne $(c{t}_A,x_A,y_A,z_A)$ związane są ze współrzędnymi $(c{t_A}^{\prime },{x_A}^{\prime },{y_A}^{\prime },{z_A}^{\prime })$ za pomocą transformacji Lorentza – i podobnie dla zdarzenia $B,$ to podstawiając do ostatniego wzoru te zależności i wykonując proste przekształcenia, otrzyma się wyrażenie identyczne jak dla $(\mathrm{\Delta }s{)}^2,$ tj.

$(\mathrm{\Delta }s{)}^2=(\mathrm{\Delta }{s}^{\prime }{)}^2.$

Oznacza to, że interwały obliczone dla dowolnych dwóch zdarzeń nie zależą od obserwatora. Mówimy, ze interwały są niezmiennikami transformacji Lorentza.

Niezmienniczość interwału stanowi o własnościach geometrycznych czasoprzestrzeni.

Interwał dla światła

Interwał obliczony dla światła jest zerowy w tym sensie, że:

Jeżeli zdarzenie $A$ polega na emisji światła z danego źródła, a zdarzenie $B$ polega na odbierze tego światła przez jakiś detektor, to

$[c(t_B-t_A){]}^2=(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2,$

gdyż lewa strona równości przedstawia kwadrat drogi przebytej przez światło, a prawa strona przedstawia kwadrat odległości przestrzennej dzielącej źródło i detektor. Przenosząc wyrażenie z prawej strony na lewą, otrzyma się wyrażenie na interwał czasoprzestrzenny. Oznacza to, że interwał dla światła jest zerowy – i własność ta jest taka sama dla dowolnego obserwatora.

Uwaga:

Niezmienność interwału wynika de facto z postulatu niezmienniczości prędkości światła względem wszystkich obserwatorów, na którym Einstein w 1905 r. oparł Szczególną Teorię Względności. Transformacja Lorentza, którą w tym artykule zakłada się, jest tego konsekwencją.

Różniczka $ds$ interwału czasoprzestrzennego zdarzeń

(1) Df. Różniczką $ds$ interwału czasoprzestrzennego nazywa się interwał obliczony dla dwóch zdarzeń leżących w infinitezymalnej odległości czasoprzestrzennej.

(2) Np. jeżeli mamy dwa zdarzenia opisane 4-wektorami

$R_A=(ct,x,y,z),$

$R_B=R_A+dR=(ct+cdt,x+dx,y+dy,z+dz),$

to różniczkowy 4-wektor dzielący te zdarzenia wynosi

$dR=(cdt,dx,dy,dz).$

Jego długość oblicza się z ogólnego wzoru na długość 4-wektora, tj.

$d{s}^2\equiv (dR{)}^2=(cdt{)}^2-(dx{)}^2-(dy{)}^2-(dz{)}^2.$

Jeżeli współrzędne zdarzenia $A$ oznaczymy symbolami $x^0,x^1,x^2,x^3,$ a przyrosty tych współrzędnych oznaczymy symbolami

$d{x}^0\equiv cdt,d{x}^1\equiv dx,d{x}^2\equiv dy,d{x}^3\equiv dz,$

to różniczka $ds$ wyrazi się w zwartej formie wzorem

$d{s}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu },$

gdzie ${\eta }_{\mu \nu }$ – tensor metryczny Minkowskiego w punkcie $(x^0,x^1,x^2,x^3).$

(3) W dowolnie zakrzywionej czasoprzestrzeni różniczka interwału $ds$ wyrazi się wzorem

$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu },$

gdzie $g_{\mu \nu }$ – tensor metryczny w punkcie $(x^0,x^1,x^2,x^3).$

Czterowektor prędkości

Definicja

Czterowektorem prędkości nazywamy pochodną czterowektora położenia cząstki względem interwału czasoprzestrzennego:

$u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{ds},$

gdzie:

• $ds$ – różniczka interwału czasoprzestrzennego dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki, dla której definiuje się 4-wektor prędkości,
• $d{x}^{\mu }=(cdt,d{x}^1,d{x}^2,d{x}^3)$ – czterowektor infinitezymalnego przemieszczenia cząstki w czasoprzestrzeni.

Przy czym zachodzi związek:

$d{s}^2=d{x}_{\mu }d{x}^{\mu }=c^{2}d{t}^2-(d{x}^1{)}^2-(d{x}^2{)}^2-(d{x}^3{)}^2.$

Aby pokazać, jaki jest sens fizyczny tak przyjętej definicji 4-wektora prędkości należy najpierw zauważyć, że:

Tw. 1: $ds=cd\tau$

gdzie $d\tau$ – infinitezymalny upływ czasu własnego, przy czym $\tau$ – tzw. czas własny cząstki, czyli czas mierzony w układzie, w którym cząstka (przynajmniej chwilowo) jest w spoczynku. Powyższy wzór oznacza, że:

Różniczka interwału $ds$ dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki jest proporcjonalna do upływu czasu własnego cząstki $d\tau ,$ tj. czasu, jaki dzieli te zdarzenia, zamierzonego zegarem poruszającym się z cząstką.

Dowód:

W układzie, w którym cząstka spoczywa, jej przemieszczenia przestrzenne są zerowe, tj. $d{x}^{\prime }=d{y}^{\prime }=d{z}^{\prime }=0.$ Oznaczając upływ czasu w układzie cząstki symbolem $d\tau \equiv d{t}^{\prime }$ i podstawiając to do wzoru na interwał liczony w układzie cząstki, otrzyma się szukany wzór:

$d{s}^2=c^{2}d{\tau }^2-(d{x}^{\prime }{)}^2-(d{y}^{\prime }{)}^2-(d{z}^{\prime }{)}^2=c^{2}d{\tau }^2,$ cnd.

Tw. 2: $dt=\gamma d\tau$

– infinitezymalny upływ czasu $dt$ mierzony w układzie, w którym cząstka ma prędkość przestrzenną $\overrightarrow{v},$ jest większy o czynnik $\gamma$ od upływu czasu w układzie cząstki (przy czym $\gamma$ jest istotnie większa od 1 dla dużych prędkości $\overrightarrow{v}$).

Dowód:

Z transformacji Lorentza, napisanej dla różniczek przemieszczeń i czasu mamy

$cdt=\gamma (cd\tau +\frac{v}{c}d{x}^{\prime }),$

gdzie przyjęto oznaczenie $d\tau \equiv d{t}^{\prime }.$ Przemieszczenia cząstki w układzie jej czasu własnego jest zerowe, tj. $d{x}^{\prime }=0.$ Stąd otrzymamy wzór (równoważny w sposób trywialny tezie twierdzenia)

$cdt=\gamma cd{t}^{\prime },$ cnd.

Ostatecznie z Tw. 1 oraz Tw. 2 mamy:

Między upływem czasu własnego cząstki, upływem czasu w układzie spoczynkowym oraz różniczką interwału dla zdarzeń na linii świata cząstki zachodzą zależności:

$ds=cd\tau =cdt\frac{1}{\gamma }=cdt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$

Wzory te pozwalają znaleźć postać 4-wektora prędkości, zależną w jawny sposób od prędkości cząstki, co pokazano niżej.

Elementy przestrzenne 4-wektora prędkości

$u^i=\frac{d{x}^i}{ds}=\frac{d{x}^i}{cdt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=v^i\frac{\gamma }{c},$

gdzie: $i=1,2,3$ oraz $v^i$ – współrzędne wektora prędkości cząstki w przestrzeni $\overrightarrow{v}=(v_x,v_y,v_z)\equiv (v^1,v^2,v^3),$ takie że:

• $v^1=v_x=\frac{d{x}^1}{dt},$
• $v^2=v_y=\frac{d{x}^2}{dt},$
• $v^3=v_z=\frac{d{x}^3}{dt}.$

Element czasowy 4-wektora prędkości

$u^0=\frac{cdt}{cdt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma .$

Jawna postać 4-wektora prędkości

Na podstawie powyższych wzorów czterowektor prędkości można zapisać w postaci jawnie zależnej od prędkości $\overrightarrow{v}$ cząstki

$u^{\mu }=(\gamma ,\overrightarrow{v}\frac{\gamma }{c}).$

Tw. 3: Długość czterowektora prędkości wynosi 1.

Dowód: Pisząc równość $d{s}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$ i dzieląc ją obustronnie przez $d{s}^2,$ otrzyma się

$1={\eta }_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{ds}\frac{d{x}^{\nu }}{ds}.$

Korzystając z definicji czterowektora prędkości, otrzymuje się

$1={\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu },$

lub równoważnie – po opuszczeniu jednego wskaźnika

$1=u_{\nu }{u}^{\nu }.$

Powyższe dwa wzory przedstawiają po prawych stronach wyrażenia na długość 4-wektora prędkości, która wg lewych stron tych równości wynosi 1, cdn.

Uwaga 1: Czterowektor prędkości jest bezwymiarowy – nie ma wymiaru prędkości.

Uwaga 2: Dla światła nie można zdefiniować czterowektora prędkości, gdyż: a) Wartość interwału czasoprzestrzennego dla światła jest zawsze równa zeru – w definicji 4-wektora prędkości mielibyśmy zero w mianowniku. b) Podstawiając do wzoru na $\gamma$ wartość $v=c,$ uzyska się symbol nieoznaczony.

Uwaga 3: Dla światła nie można dokonać transformacji Lorentza do układu poruszającego się z prędkością światła – wtedy bowiem otrzymuje się zera w mianownikach symbolu $\gamma .$

Uwaga 4: Układ odniesienia związany ze światłem jest w pewnym sensie wyróżniony, bowiem w każdym innym układzie odniesienia prędkość sygnału świetlnego w próżni jest taka sama – niezależnie od tego, z jak wielką prędkością układ ten porusza się np. w stronę źródła światła (co jest wbrew klasycznej fizyce, wg której obserwator w takim układzie mierzyłby prędkość światła większą niż c).

Uwaga 5: Upływ czasu mierzy się w teorii względności za pomocą sygnałów świetlnych. Czy da się zmierzyć upływu czasu w układzie poruszającym się z prędkością światła? Przekształcając wzór $dt=\gamma d\tau$ otrzyma się

$d\tau =dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

– wzór ten przedstawia upływ czasu w układzie poruszającym się z prędkością $v,$ gdy w układzie spoczywającym upływa czas $dt.$ Podstawiając do tego wzoru $v=c,$ otrzyma się $d\tau =0$ – dla światła czas nie płynie.

Uwaga 6: Długość (norma) 4-wektora prędkości obliczona w czasoprzestrzeni Minkowskiego zależy od przyjętej sygnatury tensora metrycznego. W tym artykule przyjęto sygnaturę (+,---) – wtedy długość wynosi 1. Jeżeli przyjąć sygnaturę (-,+++), to długość wyniesie $-1,$ bo wtedy $||𝐮|{|}^2={\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }=-1.$

Uwaga 7: Jeżeli cząstka pozostaje w spoczynku, tzn. $\overrightarrow{v}=0$ – wtedy jej 4-wektor prędkości ma postać $u^{\mu }=(\gamma ,\overrightarrow{v}\frac{\gamma }{c})=(1,0),$ czyli jest równoległy do współrzędnej czasowej, której wartość wynosi $u^0=1$ (bo $\gamma (0)=1$). Oznacza to, że:

Cząstka porusza się w czasoprzestrzeni (wzdłuż linii prostej, równoległej do osi czasowej), mimo że spoczywa w przestrzeni. W czasoprzestrzeni nie istnieje stan spoczynku.

Czteroprędkość jako wektor styczny do trajektorii cząstki

Geometrycznie czteroprędkość jest wektorem stycznym do linii świata cząstki (unormowanym do 1 lub -1).

Uzasadnienie:

Linia świata cząstki jest definiowana jako krzywa w czasoprzestrzeni (przestrzeni 4-wymiarowej), którą kreśli poruszająca się cząstka; jak każdą krzywą linię świata można zapisać w postaci parametrycznej, tj. podając zależności współrzędnych wektora wodzącego $x^{\mu }=(x^0,x^1,x^2,x^3)$ punktów krzywej od parametru, np. od interwału $s,$ czyli

$x^{\mu }(s)=[x^0(s),x^1(s),x^2(s),x^3(s)].$

Pochodna wektora wodzącego po parametrze jest wektorem stycznym do krzywej, czyli

${\overrightarrow{u}}_{styczny}=\frac{d{x}^{\mu }(s)}{ds}=[\frac{d{x}^0(s)}{ds},\frac{d{x}^1(s)}{ds},\frac{d{x}^2(s)}{ds},\frac{d{x}^3(s)}{ds}].$

Wektor ten jest tożsamy z wcześniej zdefiniowanym 4-wektorem $u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{ds},$ nazwanym 4-wektorem prędkości cząstki. Jak pokazaliśmy, długość tego wektora wynosi 1 (lub -1 dla sygnatury (-+++)).

Czterowektor pędu

Definicja

Kontrwariantnym czterowektorem pędu ciała nazywa się iloczyn 4-wektora prędkości $u^{\mu }$ ciała przez $m_{0}c$

$p^{\mu }=m_{0}c{u}^{\mu },$

gdzie: $m_0$ – masa spoczynkowa cząstki. Wykorzystując wzór $u^{\mu }=(\gamma ,\overrightarrow{v}\frac{\gamma }{c})$ otrzymamy

$p^{\mu }=m_0\gamma (c,\overrightarrow{v})$

Długość 4-wektora pędu

Korzystając z ogólnego wzoru na długość dowolnego 4-wektora, kwadrat długości 4-wektora pędu przyjmie postać

$||𝐩|{|}^2={\eta }_{\mu \nu }{p}^{\mu }{p}^{\nu }$

Podstawiając $p^{\mu }=m_0\gamma (c,\overrightarrow{v}),$ otrzymamy

$||𝐩|{|}^2=m_0^2{c}^2.$

Widać, że długość 4-wektora pędu jest stałą liczbą $m_{0}c,$ czyli niezależny od układu współrzędnych, w którym się ja oblicza.

Uwaga: Do fotonów nie stosuje się transformacja Lorentza oraz fotony mają zerową masę spoczynkową, dlatego powyższej definicji 4-pędu nie można zastosować do fotonów.

Wyrażenie 4-pędu przez energię i pęd ciała

Energię całkowitą ciała i 3-wektor pędu ciała definiuje się następująco

$E=m_0\gamma c^2,$

$\overrightarrow{p}=m_0\gamma \overrightarrow{v}.$

Podstawiając powyższe wielkości do definicji 4-wektora pędu otrzyma się równoważną postać

$p^{\mu }=(\frac{E}{c},\overrightarrow{p}).$

Składowymi czterowektora pędu są energia i pęd cząstki – dlatego wektor ten nazywa się też 4-wektorem energii-pędu:

a) współrzędna czasowa jest równa energii cząstki podzielonej przez prędkość światła

$p^0=m_{0}c\gamma =\frac{m_r{c}^2}{c}=\frac{E}{c}$

b) współrzędne przestrzenne są składowymi 3-wektora pędu cząstki

$p^i=m_{0}c{u}^i=m_{0}c{v}^i\frac{\gamma }{c}=m_0\gamma v^i,$

gdzie: $m_r=m_0\gamma$ – tzw. masa relatywistyczna cząstki.

Uwaga: 3-wektor pędu (pęd relatywistyczny) jest iloczynem masy relatywistycznej i prędkości cząstki.

Związek między energią, pędem i masą

Obliczając długość 4-wektora pędu zapisanego w postaci $p^{\mu }=(\frac{E}{c},\overrightarrow{p})$ i porównując otrzymaną wielkość z wyrażeniem $||𝐩|{|}^2=m_0^2{c}^2,$ otrzyma się zależność

${\left(\frac{E}{c}\right)}^2-p^2=m_0^2{c}^2,$

czyli

$E^2=m_0^2{c}^4+p^2{c}^2.$

Powyższe wzór na energię relatywistyczną cząstki stanowi podstawę do konstrukcji równań mechaniki kwantowej relatywistycznie niezmienniczych – równania Kleina-Gordona (opisującego cząstki bez spinu) i równania Diraca (opisującego elektrony, pozytony i inne fermiony o spinie 1/2).

Czterowektor siły

Definicja

Czterowektorem siły nazywa się pochodną czteropędu względem interwału czasoprzestrzennego:

$K^{\mu }=\frac{d{p}^{\mu }}{ds}$

lub równoważnie – korzystając ze wzoru $p^{\mu }=(\frac{E}{c},\overrightarrow{p})$

$K^{\mu }=(\frac{dE/c}{ds},\frac{d\overrightarrow{p}}{ds}).$

Współrzędne przestrzenne czterowektora siły

Część przestrzenna czterowektora siły ma więc postać

$\overrightarrow{K}=\frac{d\overrightarrow{p}}{ds}.$

Powyższy wzór można przekształcić, wprowadzając 3-wektor siły w postaci

$\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$

– identyczny wzór podał już Newton, formułując II zasadę dynamiki; Einstein zmodyfikował newtonowski wzór na pęd, zastępując iloczyn masy i prędkości wyrażeniem $\overrightarrow{p}=m\gamma \overrightarrow{v}.$

Ponieważ $ds=cdt\frac{1}{\gamma },$ to $\overrightarrow{K}$ przyjmie postać

$\overrightarrow{K}=\overrightarrow{F}\frac{\gamma }{c}.$

Oznacza to, że: składowa przestrzenna 4-siły jest proporcjonalna do 3-wektora siły.

Współrzędna czasowa czterowektora siły

Różniczkujemy wyrażenie na długość 4-wektora prędkości po interwale czasoprzestrzennym

$1={\eta }_{\mu \nu }{u}^{\nu }{u}^{\mu },$

co daje

$0={\eta }_{\mu \nu }\frac{d{u}^{\nu }}{ds}{u}^{\mu }+{\eta }_{\mu \nu }{u}^{\nu }\frac{d{u}^{\mu }}{ds}.$

Korzystając z faktu, że tensor metryczny ${\eta }_{\mu \nu }$ jest symetryczny, otrzyma się

$0={\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }\frac{d{u}^{\nu }}{ds}.$

Mnożąc powyższe wyrażenie przez $m_{0}c$ i podstawiając $p^{\mu }=m_{0}c{u}^{\mu },$ otrzyma się

$0={\eta }_{\mu \nu }{p}^{\mu }\frac{d{p}^{\nu }}{ds}.$

Korzystając z definicji czterowektora siły $K^{\mu }=\frac{d{p}^{\mu }}{ds},$ otrzyma się

$0={\eta }_{\mu \nu }{p}^{\mu }{K}^{\nu }$

lub równoważnie (po opuszczeniu wskaźnika)

$0=p_{\nu }{K}^{\nu },$

czyli

$0=p_0{K}^0+p_i{K}^i$

(gdzie sumowanie przeprowadza się po $i=1,2,3$). Wyznaczając część czasową czterowektora siły, otrzyma się

$K^0=-p_i{K}^i=-\frac{-p^i{K}^i}{p_0}=\frac{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{F}\gamma /c}{E/c}=\frac{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{F}}{E}\gamma .$

Wyrażenie czterowektora siły przez pęd, energię i siłę

Wykorzystując otrzymane wzory na $K^0$ i $\overrightarrow{K}=\overrightarrow{F}\frac{\gamma }{c},$ czterowektor siły zapiszemy w postaci

$K^{\mu }=(\frac{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{F}}{E}\gamma ,\overrightarrow{F}\frac{\gamma }{c}).$

Widać stąd, że czterowektor siły wyraża się przez prędkość, pęd i energię cząstki oraz siłę działającą na cząstkę.

Czterowektor falowy

(1) Czterowektor falowy – to czterowektor przypisany fali świetlnej lub fali materii poruszającej się w kierunku $\overrightarrow{k}$ (gdzie $\overrightarrow{k}$ – wektor falowy fali), o częstotliwości $\omega$

$k^{\mu }=(\frac{\omega }{c},\overrightarrow{k}).$

(2) Kwadrat długości tego 4-wektora wynosi

$\Vert k^{\mu }{\Vert }^2={\left(\frac{\omega }{c}\right)}^2-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{k}.$

(3) Jeżeli rozważaną falą jest fala materii, to słuszne są zależności podane przez de Broglie’a pomiędzy częstotliwością fali i jej wektorem falowym, a energią cząstki i jej pędem

$E=\hslash \omega ,$

$\overrightarrow{p}=\hslash \overrightarrow{k},$

gdzie $\hslash$ – stała Plancka podzielona przez $2\pi .$

Czterowektor $k^{\mu }$ wyrażony przez $E,\overrightarrow{p}$ przyjmie postać

$k^{\mu }=\frac{1}{\hslash }(\frac{E}{c},\overrightarrow{p})$

lub

$k^{\mu }=\frac{1}{\hslash }{p}^{\mu }.$

Korzystając ze wzoru na długość 4-wektora pędu, otrzymamy

$\Vert k^{\mu }{\Vert }^2={\left(\frac{\omega }{c}\right)}^2-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{k}={\left(\frac{m_{0}c}{\hslash }\right)}^2,$

gdzie $m_0$ – masa cząstki.

Czterowektor gęstości prądu

Czterowektor gęstości prądu – to czterowektor przypisany prądowi elektrycznemu (składowa czasowa jest relatywistyczną gęstością ładunku $\rho ,$ pomnożoną przez prędkość światła; składowa przestrzenna jest wektorem gęstości prądu elektrycznego $\overrightarrow{j}$)

$j^{\mu }=(c\rho ,\overrightarrow{j}).$

Zobacz też

• czasoprzestrzeń Minkowskiego
• czas własny
• czterowektor gęstości prądu elektrycznego
• czterowektor pędu
• interwał czasoprzestrzenny
• wektor styczny
• współrzędne krzywoliniowe
• zdarzenie czasoprzestrzenne

Bibliografia

W języku polskim:

• L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009 (klasyczny podręcznik).
• Szablon:Cytuj książkę

W języku angielskim:

• Szablon:Cytuj
• D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, 2017.
• D.J. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, WILEY-VCH, Veinhein 2008.