Interwał czasoprzestrzenny

Interwał czasoprzestrzenny – uogólnienie pojęcia odległości na czterowymiarową czasoprzestrzeń. W najprostszym przypadku czasoprzestrzeni Minkowskiego (w szczególnej teorii względności) wzór na interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami '1' i '2' ma postaćSzablon:Odn: Szablon:Wzór

gdzie:

$\mathrm{\Delta }{s}_{12}^2$ – interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami mierzony w inercjalnym układzie odniesienia;

$t_1$ i $t_2$ – współrzędne czasowe zdarzeń '1' i '2', odpowiednio;

$x_1,y_1,z_1$ i $x_2,y_2,z_2$ – odpowiednie współrzędne przestrzenne zdarzeń;

$c$ – prędkość światła w próżni.

Dla bardzo małych różnic

$dt=t_2-t_1,dx=x_2-x_1,dy=y_2-y_1,dz=z_2-z_1.$

interwał można zapisać w postaci Szablon:Wzór

Konwencja liczenia interwału

Istnieje również konwencja, w której do obliczenia interwału czasoprzestrzennego przy odstępie czasowym stawia się znak –, zaś część przestrzenna ma znak +. Jest to zależne od sygnatury tensora metrycznego. Powyższe wzory zakładają sygnaturę „+ − − −”.

Interwał jako wielkość geometryczna

Interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji LorentzaSzablon:Odn, tzn. obliczony w pewnym inercjalnym układzie odniesienia ma tę samą wartość w dowolnym, inercjalnym układzie odniesienia. Interwał jest więc wielkością geometryczną w czasoprzestrzeni, niezależną od przyjętego układu odniesienia. Odległości przestrzenne między zdarzeniami

$d{r}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2$

oraz odległości czasowe między nimi $dt$ nie są zaś niezmiennikami transformacji Lorentza.

Interwał pełni więc w szczególnej teorii względności taką samą rolę, jak odległość przestrzenna między punktami w przestrzeni euklidesowej, która nie zależy od tego, w jakim układzie współrzędnych odległość ta jest mierzona. Jednak rzeczywistość fizyczną poprawnie opisuje teoria względności, a nie geometria euklidesowa.

Zapis tensorowy

Szablon:Konwencja sumacyjna Korzystając z tensora metrycznego czasoprzestrzeni Minkowskiego ${\eta }_{\mu \nu },$ interwał czasoprzestrzenny można zapisać następująco: Szablon:Wzór

Dla różniczek interwał czasoprzestrzenny przyjmuje analogiczną postać: Szablon:Wzór

Interwał czasoprzestrzenny w ogólnej teorii względności można otrzymać poprzez zastąpienie tensora z przestrzeni Minkowskiego ${\eta }_{\mu \nu }$ przez tensor metryczny OTW $g_{\mu \nu }:$ Szablon:Wzór

W ogólnej teorii względności interwał czasoprzestrzenny także jest niezmienniczy, czyli jego wartość jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, również w poruszających się z przyspieszeniem względem danego układu odniesienia.

Typy interwałów czasoprzestrzennych

Interwały czasoprzestrzenne dzielimy na:

• czasopodobne $\mathrm{\Delta }{s}_{12}^2>0,$
• zerowe $\mathrm{\Delta }{s}_{12}^2=0,$
• przestrzennopodobne $\mathrm{\Delta }{s}_{12}^2<0.$

Interwały czasowe i zerowe opisują zdarzenia, które mogły mieć na siebie wpływ (informacja o jednym mogła dotrzeć do drugiego), przy czym interwał zerowy dotyczy dwóch punktów połączonych linią geodezyjną (uogólnieniem prostej w czasoprzestrzeni), czyli drogą, po której poruszają się fotony. Natomiast zdarzenia, między którymi interwał jest typu przestrzennego, nie są ze sobą powiązane przyczynowo-skutkowo, chyba że dopuścimy możliwość poruszania się szybciej niż światło.

Interwał jako pseudometryka

Interwał czasoprzestrzenny definiuje tzw. pseudometryką w czasoprzestrzeni. Jak podano wyżej, odległości między zdarzeniami w czasoprzestrzeni mogą być zarówno dodatnie (jak w zwykłej przestrzeni), ale też ujemne i zerowe między zdarzeniami oddalonymi od siebie.

Te dwie cechy odróżniają pseudometrykę od metryki, która określa odległości np. w przestrzeni euklidesowej: odległość przyjmuje wartość zerową jedynie dla tego samego punktu, a dla różnych punktów jest zawsze dodatnia.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, s. 20–26.
• Leonard Susskind, Art Friedeman, Teoretyczne minimum: Szczególna teoria względności i klasyczna teoria pola, Prószyński i S-ka, Warszawa 2019, s. 85–86.